Teoría de la pequeña cancelación

En la asignatura matemática de la teoría de grupos , la teoría de pequeñas cancelaciones estudia grupos dados por presentaciones grupales que satisfacen pequeñas condiciones de cancelación , es decir, donde las relaciones definitorias tienen "pequeñas superposiciones" entre sí. Las pequeñas condiciones de cancelación implican propiedades algebraicas, geométricas y algorítmicas del grupo. Los grupos finamente presentados que satisfacen condiciones de cancelación pequeñas suficientemente fuertes son palabras hiperbólicas y tienen problemas de palabras que se pueden resolver mediante el algoritmo de Dehn . También se utilizan pequeños métodos de cancelación para construir monstruos Tarski y para solucionar el problema de Burnside..

Historia

Algunas ideas que subyacen a la teoría de la pequeña cancelación se remontan al trabajo de Max Dehn en la década de 1910. ^[1] Dehn demostró que los grupos fundamentales de superficies orientables cerradas del género al menos dos tienen problemas de palabras que se pueden resolver mediante lo que ahora se llama algoritmo de Dehn . Su demostración implicó dibujar el gráfico de Cayley de dicho grupo en el plano hiperbólico y realizar estimaciones de curvatura mediante el teorema de Gauss-Bonnet para un bucle cerrado en el gráfico de Cayley para concluir que dicho bucle debe contener una gran parte (más de la mitad) de una relación definitoria.

Un artículo de 1949 de Tartakovskii ^[2] fue un precursor inmediato de la teoría de la cancelación pequeña: este artículo proporcionó una solución al problema verbal para una clase de grupos que satisfacían un conjunto complicado de condiciones combinatorias, donde los supuestos del tipo de cancelación pequeña jugaron un papel clave. La versión estándar de la teoría de pequeñas cancelaciones, como se usa hoy en día, fue desarrollada por Martin Greendlinger en una serie de artículos a principios de la década de 1960, ^{[3] [4] [5]} que se ocuparon principalmente de las condiciones "métricas" de pequeñas cancelaciones. En particular, Greendlinger demostró que los grupos finamente presentadosSatisfacer la condición de cancelación pequeña C '(1/6) tiene problemas de palabras que se pueden resolver mediante el algoritmo de Dehn. La teoría se refinó y formalizó aún más en el trabajo posterior de Lyndon, ^[6] Schupp ^[7] y Lyndon-Schupp, ^[8] quienes también trataron el caso de las condiciones de cancelación pequeña no métricas y desarrollaron una versión de la teoría de cancelación pequeña para productos gratuitos fusionados y extensiones HNN .

La teoría de la pequeña cancelación fue generalizada aún más por Alexander Ol'shanskii, quien desarrolló ^[9] una versión "graduada" de la teoría donde el conjunto de relaciones definitorias viene equipado con una filtración y donde un relator definitorio de un grado particular puede tener una gran se superponen con un relator definitorio de un grado superior. Olshaskii usó la teoría de cancelación pequeña graduada para construir varios grupos de "monstruos", incluido el monstruo Tarski ^[10] y también para dar una nueva prueba ^{[11] de} que los grupos libres de Burnside de grandes exponentes impares son infinitos (este resultado fue probado originalmente por Adian y Novikov en 1968 utilizando métodos más combinatorios). ^{[12] [13][14]}

La teoría de la pequeña cancelación proporcionó un conjunto básico de ejemplos e ideas para la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras que fue presentada por Gromov en una monografía seminal de 1987 "Grupos hiperbólicos". ^[15]

Definiciones principales

La siguiente exposición sigue en gran medida al Cap. V del libro de Lyndon y Schupp. ^[8]

Piezas

Dejar

${\displaystyle G=\langle X|R\rangle \qquad (*)}$

ser una presentación de grupo donde R  ⊆  F ( X ) es un conjunto de palabras libremente reducidas y cíclicamente reducidas en el grupo libre F ( X ) tal que R está simétrizado , es decir, cerrado tomando permutaciones cíclicas e inversas.

Una palabra u no trivial libremente reducida en F ( X ) se llama pieza con respecto a (∗) si existen dos elementos distintos r ₁ , r ₂ en R que tienen u como segmento inicial común máximo.

Tenga en cuenta que si es una presentación de grupo donde el conjunto de relatores definidores S no está simétrizado , siempre podemos tomar el cierre simétrizado R de S , donde R consta de todas las permutaciones cíclicas de los elementos de S y S ⁻¹ . Entonces R se simetriza y es también una presentación de G .${\displaystyle G=\langle X|S\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle X|R\rangle }$

Condiciones de cancelación pequeñas métricas

Sea 0 <  λ  <1. Se dice que la presentación (∗) como arriba satisface la condición de cancelación pequeña C '( λ ) si siempre que u es una pieza con respecto a (∗) y u es una subpalabra de algún r  ∈  R , entonces | u | <  λ | r |. Aquí | v | es la longitud de una palabra v .

La condición C '( λ ) a veces se denomina condición de cancelación pequeña métrica .

Condiciones de cancelación pequeñas no métricas

Sea p  ≥ 3 un número entero. Se dice que una presentación grupal (∗) como la anterior satisface la condición de cancelación pequeña C ( p ) si siempre que r  ∈  R y

${\displaystyle r=u_{1}\dots u_{m}}$

donde u _i son piezas y donde el producto anterior se reduce libremente como está escrito, entonces m  ≥  p . Es decir, ningún relator definitorio puede escribirse como un producto reducido de menos de p piezas.

Sea q  ≥ 3 un número entero. Se dice que una presentación de grupo (∗) como la anterior satisface la condición de cancelación pequeña T ( q ) si siempre que 3 ≤ t <  q y r ₁ , ..., r _t en R son tales que r ₁  ≠  r ₂ ⁻¹ , ..., r _t  ≠  r ₁ ⁻¹ entonces al menos uno de los productos r ₁ r ₂ , ..., r _{t − 1} r _t , r _t r ₁ se reduce libremente como está escrito.

Geométricamente, la condición T ( q ) esencialmente significa que si D es un diagrama de van Kampen reducido sobre (∗), entonces cada vértice interior de D de grado al menos tres en realidad tiene grado al menos q .

Ejemplos

• Sea la presentación estándar del grupo abeliano libre de rango dos. Entonces, para el cierre simétrico de esta presentación, las únicas piezas son palabras de longitud 1. Esta forma simétrizada satisface las condiciones de cancelación pequeña C (4) -T (4) y la condición C '( λ ) para cualquier 1>  λ  > 1 / 4.${\displaystyle G=\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle }$
• Sea , donde k  ≥ 2, la presentación estándar del grupo fundamental de una superficie orientable cerrada del género k . Entonces, para la simetrización de esta presentación, las únicas piezas son palabras de longitud 1 y esta simetrización satisface las condiciones de cancelación pequeña C '(1/7) y C (8).${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}|[a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle }$
• Deja . Luego, hasta la inversión, cada pieza de la versión simétrica de esta presentación tiene la forma b ⁱ ab ^j o b ⁱ , donde 0 ≤  i , j  ≤ 100. Esta simetrización satisface la condición de cancelación pequeña C '(1/20) .${\displaystyle G=\langle a,b|abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle }$
• Si una presentación simétrica satisface la condición C '(1 / m ), entonces también satisface la condición C ( m ).
• Sea r  ∈  F ( X ) una palabra cíclicamente reducida no trivial que no es una potencia propia en F ( X ) y sea n  ≥ 2. Entonces, el cierre simétrico de la presentación satisface las C (2n) ^[16] y C '( 1 / n) pequeñas condiciones de cancelación.${\displaystyle G=\langle X|r^{n}\rangle }$

Resultados básicos de la teoría de pequeñas cancelaciones

Lema de Greendlinger

El resultado principal con respecto a la condición de cancelación pequeña métrica es el siguiente enunciado (ver Teorema 4.4 en el Capítulo V de ^[8] ) que generalmente se llama

Lema de Greendlinger : Sea (∗) una presentación grupal como la anterior que satisface la condición de cancelación pequeña C '( λ ) donde 0 ≤  λ  ≤ 1/6. Deje w  ∈  F ( X ) sea un no trivial palabra libremente reducida tal que w  = 1 en G . Entonces hay una subpalabra v de w y un relator definitorio r  ∈  R tal que v también es una subpalabra de r y tal que

${\displaystyle \left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|}$

Tenga en cuenta que la suposición λ  ≤ 1/6 implica que (1-3 λ ) ≥ 1/2, por lo que w contiene una subpalabra más de la mitad de algún relator definitorio.

El lema de Greendlinger se obtiene como corolario del siguiente enunciado geométrico:

Bajo los supuestos del lema de Greendlinger, sea D un diagrama de van Kampen reducido sobre (∗) con una etiqueta de límite cíclicamente reducida tal que D contiene al menos dos regiones. Entonces existen dos regiones distintas D ₁ y D ₂ en D tales que para j  = 1,2 la región D _j interseca el ciclo de frontera ∂ D de D en un arco simple cuya longitud es mayor que (1-3 λ ) | ∂ D _j |.

Este resultado a su vez se prueba por considerar un diagrama dual para D . Allí se define una noción combinatoria de curvatura (que, según los supuestos de cancelación pequeña, es negativa en cada vértice interior), y luego se obtiene una versión combinatoria del teorema de Gauss-Bonnet . El lema de Greendlinger se prueba como consecuencia de este análisis y de esta manera la prueba evoca las ideas de la prueba original de Dehn para el caso de los grupos de superficie.

Algoritmo de Dehn

Para cualquier presentación de grupo simétrizado (∗), el siguiente procedimiento abstracto se denomina algoritmo de Dehn :

• Dada una palabra w libremente reducida en X ^{± 1} , construya una secuencia de palabras libremente reducidas w  =  w ₀ , w ₁ , w ₂ , ..., como sigue.
• Suponga que w _j ya está construido. Si es la palabra vacía, finalice el algoritmo. De lo contrario, compruebe si w _j contiene una subpalabra v tal que v también sea una subpalabra de algún relator definitorio r  = vu ∈  R tal que | v | > | r | / 2. Si no, finalice el algoritmo con la salida w _j . Si es así, reemplace v por u ⁻¹ en w _j , luego reduzca libremente, denote la palabra resultante libremente reducida por w _{j +1} y vaya al siguiente paso del algoritmo.

Tenga en cuenta que siempre tenemos

| w ₀ | > | w ₁ | > | w ₂ | > ...

lo que implica que el proceso debe terminar en como máximo | w | pasos. Por otra parte, todas las palabras w _j representan el mismo elemento de G igual que w y por lo tanto si los concluido el proceso con la palabra vacía, entonces w representa el elemento identidad de G .

Se dice que para una presentación simétrizada (∗) el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal en G si lo contrario también es cierto, es decir, si para cualquier palabra w libremente reducida en F ( X ) esta palabra representa el elemento de identidad de G si y solo si el algoritmo de Dehn, a partir de w , termina en la palabra vacía.

El lema de Greendlinger implica que para una presentación C '(1/6), el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal.

Si un (1/6) de presentación (*) C 'es finita (que es a la vez X y R son finitos), entonces el algoritmo de Dehn es un real no determinista algoritmo en el sentido de teoría de la repetición . Sin embargo, incluso si (*) es un C infinita '(1/6) de presentación, el algoritmo de Dehn, entendida como un procedimiento abstracto, todavía decide correctamente si o no una palabra en los generadores X ^{± 1} representa el elemento identidad de G .

Asfericidad

Sea (∗) una presentación C '(1/6) o, más generalmente, C (6) donde cada r  ∈  R no es una potencia propia en F ( X ), entonces G es asférico en el siguiente sentido. Considere un subconjunto mínimo S de R tal que el cierre symmetrized de S es igual a R . Así, si r y s son elementos distintos de S entonces r no es una permutación cíclica de s ^{± 1} y es otra presentación para G . Deja que Y sea ​​el${\displaystyle G=\langle X|S\rangle }$complejo de presentación para esta presentación. Entonces (ver ^[17] y el Teorema 13.3 en ^[9] ), bajo los supuestos anteriores en (∗), Y es un espacio de clasificación para G , es decir G  =  π ₁ ( Y ) y la cobertura universal de Y es contráctil . En particular, esto implica que G está libre de torsión y tiene una dimensión cohomológica dos.

Curvatura más general

De manera más general, es posible definir varios tipos de "curvatura" local en cualquier diagrama de van Kampen para que sea - muy aproximadamente - el exceso promedio de vértices + caras - aristas (que, según la fórmula de Euler, debe sumar 2) y, mostrando , en un grupo en particular, que esto siempre es no positivo (o, incluso mejor, negativo) internamente, muestre que la curvatura debe estar en el límite o cerca de él y, por lo tanto, trate de obtener una solución del problema verbal. Además, se puede restringir la atención a los diagramas que no contienen ninguna de un conjunto de "regiones" de manera que haya una región "más pequeña" con el mismo límite.

Otras propiedades básicas de pequeños grupos de cancelación

• Sea (∗) una presentación C '(1/6). A continuación, un elemento g en G tiene orden n  > 1 si y sólo si hay un relator r en R de la forma r  =  s ⁿ en F ( X ) tal que g es conjugado a s en G . En particular, si todos los elementos de R no son potencias propias en F ( X ), entonces G está libre de torsión.
• Si (∗) es una presentación C '(1/6) finita, el grupo G es hiperbólico de palabras .
• Si R y S se symmetrized finito subconjuntos de F ( X ) con igualdad de cierres normales en F ( X ) tal que ambas presentaciones y satisfacen la C '(1/6) condición, entonces R  =  S .${\displaystyle \langle X|R\rangle }$${\displaystyle \langle X|S\rangle }$
• Si una presentación finita (∗) satisface uno de C '(1/6), C' (1/4) –T (4), C (6), C (4) –T (4), C (3) –T (6) entonces el grupo G tiene un problema verbal que se puede resolver y un problema de conjugación que se puede resolver

Aplicaciones

Ejemplos de aplicaciones de la teoría de pequeñas cancelaciones incluyen:

• Solución del problema de conjugación para grupos de nudos alternos (ver ^{[18] [19]} y Capítulo V, Teorema 8.5 en ^[8] ), mostrando que para tales nudos los grupos de nudos aumentados admiten presentaciones C (4) –T (4) .
• Los pequeños grupos de cancelación C '(1/6) finamente presentados son ejemplos básicos de grupos hiperbólicos de palabras . Una de las caracterizaciones equivalentes de los grupos hiperbólicos de palabras es como aquellos que admiten presentaciones finitas donde el algoritmo de Dehn resuelve el problema verbal .
• Los grupos finamente presentados dados por presentaciones finitas C (4) –T (4) donde cada pieza tiene una longitud uno son ejemplos básicos de grupos CAT (0) : para tal presentación, la cubierta universal del complejo de presentación es un cuadrado CAT (0) complejo.
• Las primeras aplicaciones de la teoría de la pequeña cancelación implican la obtención de varios resultados de integrabilidad. Los ejemplos incluyen un artículo de 1974 ^[20] de Sacerdote y Schupp con una prueba de que cada grupo de un relator con al menos tres generadores es SQ-universal y un artículo de 1976 de Schupp ^[21] con una prueba de que todos los grupos contables pueden integrarse en un grupo simple generado por un elemento de orden dos y un elemento de orden tres.
• La denominada construcción Rips , debido a Eliyahu Rips , ^[22] proporciona una rica fuente de contraejemplos con respecto a varias propiedades de subgrupos de grupos hiperbólicos de palabras : dado un grupo Q arbitrario presentado de forma finita , la construcción produce una secuencia breve y exacta donde K se genera en dos y donde G es libre de torsión y está dado por una representación finita C '(1/6) (y por lo tanto G es palabra hiperbólica). La construcción arroja pruebas de la imposibilidad de resolver varios problemas algorítmicos para grupos hiperbólicos de palabras.${\displaystyle 1\to K\to G\to Q\to 1}$, incluido el problema de pertenencia a subgrupos, el problema de generación y el problema de rango . ^[23] Además, con algunas excepciones, el grupo K en la construcción de Rips no es finamente presentable . Esto implica que existen grupos hiperbólicos de palabras que no son coherentes, es decir, que contienen subgrupos que se generan de manera finita pero no presentables de manera finita.
• Ol'shanskii ^[9] utilizó pequeños métodos de cancelación (para presentaciones infinitas) para construir varios grupos de "monstruos", incluido el monstruo de Tarski y también para dar una prueba de que los grupos libres de Burnside de grandes exponentes impares son infinitos (un resultado similar fue probado originalmente por Adian y Novikov en 1968 utilizando métodos más combinatorios). Algunos otros grupos de "monstruos" construidos por Ol'shanskii usando estos métodos incluyen: un grupo noetheriano infinito y simple ; un grupo infinito en el que cada subgrupo propio tiene un orden primo y dos subgrupos cualesquiera del mismo orden están conjugados; un grupo no susceptible en el que cada subgrupo adecuado es cíclico; y otros. ^[24]
• Bowditch ^[25] utilizó infinitas presentaciones de pequeñas cancelaciones para demostrar que existen continuamente muchos tipos de cuasi-isometría de grupos de dos generadores.
• Thomas y Velickovic utilizaron la teoría de la pequeña cancelación para construir ^[26] un grupo generado finitamente con dos conos asintóticos no homeomórficos, respondiendo así a una pregunta de Gromov .
• McCammond y Wise mostraron cómo superar las dificultades planteadas por la construcción de Rips y producir grandes clases de pequeños grupos de cancelación que son coherentes (es decir, donde todos los subgrupos generados finitamente se presentan finitamente) y, además, cuasiconvexos localmente (es decir, donde todos los subgrupos generados finitamente) son cuasiconvexos). ^{[27] [28]}
• Los pequeños métodos de cancelación juegan un papel clave en el estudio de varios modelos de grupos "genéricos" o "aleatorios" presentados de forma finita (ver ^[29] ). En particular, para un número fijo m  ≥ 2 de generadores y un número fijo t  ≥ 1 de las relaciones que definen y para cualquier λ  <1 un azar m -Generador t -relator satisface grupo el C '( λ ) pequeño condición de cancelación. Incluso si el número de relaciones definitorias t no es fijo pero crece a medida que (2 m −1) ^εn (donde ε  ≥ 0 es la densidad fijaen el modelo de densidad de Gromov de grupos "aleatorios", y donde es la longitud de las relaciones definitorias), entonces un ε -grupo aleatorio satisface la condición C '(1/6) siempre que ε  <1/12.${\displaystyle n\to \infty }$
• Gromov ^[30] utilizó una versión de la teoría de la pequeña cancelación con respecto a un gráfico para probar la existencia de un grupo presentado de forma finita que "contiene" (en el sentido apropiado) una secuencia infinita de expansores y, por lo tanto, no admite una incrustación uniforme en un Espacio Hilbert . Este resultado proporciona una dirección (la única disponible hasta ahora) para buscar contraejemplos a la conjetura de Novikov .
• Osin ^[31] utilizó una generalización de la teoría de la pequeña cancelación para obtener un análogo del teorema de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston para grupos relativamente hiperbólicos .

Generalizaciones

• En el artículo de Sacerdote y Schupp y luego en el libro de Lyndon y Schupp se desarrolló una versión de la teoría de la cancelación pequeña para grupos cocientes de productos libres fusionados y extensiones HNN . ^[8]
• Rips ^[32] y Ol'shanskii ^[9] desarrollaron una versión "estratificada" de la teoría de la pequeña cancelación donde el conjunto de relatores se filtra como una unión ascendente de estratos (cada estrato satisface una pequeña condición de cancelación) y para un relator r de algunos estrato y un relator s de un estrato superior se requiere que su superposición sea pequeña con respecto a | s | pero se le permite tener un gran con respecto a | r |. Esta teoría permitió a Ol'shanskii construir varios grupos de "monstruos", incluido el monstruo Tarski, y dar una nueva prueba de que los grupos libres de Burnside de grandes exponentes impares son infinitos.
• Ol'shanskii ^[33] y Delzant ^[34] desarrollaron posteriormente versiones de la teoría de la pequeña cancelación para cocientes de grupos de palabras hiperbólicas .
• McCammond proporcionó una versión de dimensiones superiores de la teoría de la pequeña cancelación. ^[35]
• McCammond y Wise impulsaron sustancialmente los resultados básicos de la teoría de cancelación pequeña estándar (como el lema de Greendlinger) con respecto a la geometría de los diagramas de van Kampen sobre presentaciones de cancelación pequeñas. ^[36]
• Gromov usó una versión de la teoría de la pequeña cancelación con respecto a un gráfico para probar ^[30] la existencia de un grupo presentado de forma finita que "contiene" (en el sentido apropiado) una secuencia infinita de expansores y por lo tanto no admite una incrustación uniforme en un Espacio Hilbert . ^[37]
• Osin ^[31] dio una versión de la teoría de cancelación pequeña para cocientes de grupos relativamente hiperbólicos y la utilizó para obtener una generalización relativamente hiperbólica del teorema de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston .

Referencias básicas

• Roger Lyndon y Paul Schupp , teoría de grupos combinatoria . Reimpresión de la edición de 1977. Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag , Berlín, 2001. ISBN  3-540-41158-5 .
• Alexander Yu. Olʹshanskii, Geometría de la definición de relaciones en grupos. Traducido del original ruso de 1989 por Yu. A. Bakhturin. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
• Ralph Strebel, Apéndice. Pequeños grupos de cancelación. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Berna, 1988), págs. 227-273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN 0-8176-3508-4 . 
• Milé Krajčevski, Tilings del avión, grupos hiperbólicos y pequeñas condiciones de cancelación. Memorias de la American Mathematical Society, vol. 154 (2001), núm. 733.

Ver también

• Teoría de grupos geométricos
• Grupo hiperbólico de palabras
• Grupo de monstruos Tarski
• Problema del lado quemado
• Grupo finamente presentado
• Problema verbal para grupos
• Diagrama de Van Kampen

Notas

1. Bruce Chandler y Wilhelm Magnus , La historia de la teoría combinatoria de grupos. Un caso de estudio en la historia de las ideas. Estudios en Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas, 9. Springer-Verlag, Nueva York, 1982. ISBN 0-387-90749-1 . 
2. VA Tartakovskii, Solución del problema verbal para grupos con una base k-reducida para k> 6 . (Ruso) Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., Vol. 13, (1949), págs. 483–494.
3. Martin Greendlinger, algoritmo de Dehn para el problema verbal. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas, vol. 13 (1960), págs. 67–83.
4. Martin Greendlinger, Sobre los algoritmos de Dehn para la conjugación y problemas verbales , con aplicaciones . Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas, vol. 13 (1960), págs. 641–677.
5. Martin Greendlinger, análogo de un teorema de Magnus. Archiv der Mathematik, vol 12 (1961), págs. 94–96.
6. Roger C. Lyndon , Sobre el algoritmo de Dehn. Mathematische Annalen , vol. 166 (1966), págs. 208-228.
7. Paul E. Schupp, Sobre el algoritmo de Dehn y el problema de la conjugación. Mathematische Annalen , vol 178 (1968), págs. 119-130.
8. Roger C. Lyndon y Paul Schupp, Teoría de grupos combinatorios . Reimpresión de la edición de 1977. Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag , Berlín, 2001. ISBN 3-540-41158-5 . 
9. Alexander Yu. Olʹshanskii, Geometría de la definición de relaciones en grupos . Traducido del original ruso de 1989 por Yu. A. Bakhturin. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
10. A. Yu. Olshanskii, un grupo infinito con subgrupos de órdenes primos , matemáticas. URSS Izv. 16 (1981), 279-289; traducción de Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
11. A. Yu. Olshanskii, Grupos de período acotado con subgrupos de primer orden , Álgebra y Lógica 21 (1983), 369-418; traducción de Algebra i Logika 21 (1982), 553-618.
12. PS Novikov, SI Adian, Grupos periódicos infinitos. Yo . Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., Vol. 32 (1968), núm. 1, págs. 212–244.
13. PS Novikov, SI Adian, Grupos periódicos infinitos. II . Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., Vol. 32 (1968), núm. 2, págs. 251–524.
14. PS Novikov, SI Adian. Grupos periódicos infinitos. III . Izvestia Akademii Nauk SSSR. Ser. Mat., Vol. 32 (1968), núm. 3, págs. 709–731.
15. M. Gromov, Grupos hiperbólicos , en "Ensayos en teoría de grupos" (GM Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263.
16. Stephen J. Orgullo. Pequeñas condiciones de cancelación satisfechas por grupos de un solo relator . Mathematische Zeitschrift , vol. 184 (1983), núm. 2, págs. 283-286.
17. Ian M. Chiswell, Donald J. Collins, Johannes Huebschmann, presentaciones de grupo asférico . Mathematische Zeitschrift , vol. 178 (1981), núm. 1, págs. 1-36.
18. CM Weinbaum, Problemas de palabra y conjugación para el grupo de nudos de cualquier nudo manso, primo y alterno. Actas de la American Mathematical Society , vol. 30 (1971), págs. 22-26.
19. KI Appel, PE Schupp, El problema de conjugación para el grupo de cualquier nudo alterno domesticado tiene solución. Actas de la American Mathematical Society , vol. 33 (1972), págs. 329–336.
20. George S. Sacerdote y Paul E. Schupp, SQ-universalidad en grupos HNN y grupos de un relator. Revista de la Sociedad Matemática de Londres (2), vol. 7 (1974), págs. 733–740.
21. Paul E. Schupp, Incrustaciones en grupos simples. Revista de la Sociedad Matemática de Londres (2), vol. 13 (1976), núm. 1, págs. 90–94.
22. E. Rips, subgrupos de pequeños grupos de cancelación . Boletín de la London Mathematical Society , vol. 14 (1982), núm. 1, págs. 45–47.
23. G. Baumslag, CF Miller, H. Problemas breves e irresolubles sobre cancelación pequeña y grupos hiperbólicos de palabras . Boletín de la London Mathematical Society , vol. 26 (1994), núm. 1, págs. 97-101.
24. A. Yu. Olʹshanskii, Sobre un método geométrico en la teoría combinatoria de grupos . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Varsovia, 1983), 415–424, PWN – Polish Scientific Publishers, Varsovia; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. ISBN 83-01-05523-5 . 
25. BH Bowditch, continuamente muchas clases de cuasi-isometría de grupos de 2 generadores. Commentarii Mathematici Helvetici , vol. 73 (1998), núm. 2, págs. 232-236.
26. S. Thomas y B. Velickovic. Conos asintóticos de grupos finitamente generados . Boletín de la London Mathematical Society , vol. 32 (2000), núm. 2, págs. 203-208.
27. Jonathan P. McCammond y Daniel T. Wise, Coherencia, cuasiconvexidad local y perímetro de 2 complejos. Análisis geométrico y funcional , vol. 15 (2005), núm. 4, págs. 859–927.
28. Jonathan P. McCammond y Daniel T. Wise, Grupos de cancelación pequeña localmente cuasiconvexos. Transacciones de la American Mathematical Society , vol. 360 (2008), núm. 1, págs. 237-271.
29. Yann Ollivier, una invitación de enero de 2005 a grupos aleatorios. Ensaios Matemáticos [Encuestas Matemáticas], 10. Sociedade Brasileira de Matemática, Río de Janeiro, 2005. ISBN 85-85818-30-1 . 
30. Gromov, M. (2003). "Caminata aleatoria en grupos aleatorios". Análisis geométrico y funcional . 13 (1): 73–146. doi : 10.1007 / s000390300002 .
31. Osin, Denis V. (2007). "Obturaciones periféricas de grupos relativamente hiperbólicos". Inventiones Mathematicae . 167 (2): 295–326. arXiv : matemáticas / 0510195 . doi : 10.1007 / s00222-006-0012-3 .
32. Rips de Eliyahu, "Teoría de cancelación pequeña generalizada y aplicaciones I" Israel J. Math. , vol. 41 (1982)
33. Olʹshanskii, A. Yu. (1993). "Sobre homomorfismos residuales y subgrupos G de grupos hiperbólicos". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 3 (4): 365–409. doi : 10.1142 / S0218196793000251 .
34. Delzant, Thomas (1996). "Sous-groupes distingués et quients des groupes hyperboliques" [Subgrupos distinguidos y cocientes de grupos hiperbólicos]. Duke Mathematical Journal (en francés). 83 (3): 661–682.
35. McCammond, Jonathan P. (2000). "Una pequeña teoría de cancelación general". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 10 (1): 1–172.
36. McCammond, Jonathan P .; Wise, Daniel T. (2002). "Ventiladores y escaleras en teoría de pequeñas cancelaciones". Actas de la London Mathematical Society . 84 (3): 599–644. doi : 10.1112 / S0024611502013424 .
37. Para obtener más detalles sobre la teoría de la pequeña cancelación con respecto a un gráfico, consulte también Ollivier, Yann (2006). "Sobre un pequeño teorema de cancelación de Gromov" . Boletín de la Sociedad Belga de Matemáticas . 13 (1): 75–89. doi : 10.36045 / bbms / 1148059334 .