En la teoría de grupos , más precisamente en la teoría de grupos geométrico , un grupo hiperbólico , también conocido como un grupo de palabras hiperbólica o grupo hiperbólica Gromov , es un finitamente generado grupo equipado con una palabra métricas que satisfacen ciertas propiedades resumieron desde la clásica geometría hiperbólica . La noción de grupo hiperbólico fue introducida y desarrollada por Mikhail Gromov ( 1987 ). La inspiración provino de varias teorías matemáticas existentes: geometría hiperbólica pero también topología de baja dimensión (en particular, los resultados de Max Dehn sobre lagrupo fundamental de una superficie hiperbólica de Riemann , y fenómenos más complejos en topología tridimensional ), y teoría combinatoria de grupos . En un capítulo muy influyente (más de 1000 citas [1] ) de 1987, Gromov propuso un programa de investigación de amplio alcance. Las ideas y el material fundamental en la teoría de los grupos hiperbólicos también provienen del trabajo de George Mostow , William Thurston , James W. Cannon , Eliyahu Rips y muchos otros.
Definición
Dejar ser un grupo finitamente generado, y ser su gráfico de Cayley con respecto a algún conjunto finitode generadores. El conjuntoestá dotado de su métrica gráfica (en la que los bordes son de longitud uno y la distancia entre dos vértices es el número mínimo de bordes en un camino que los conecta) que lo convierte en un espacio de longitud . El grupoentonces se dice que es hiperbólico sies un espacio hiperbólico en el sentido de Gromov. En breve, esto significa que existe un tal que cualquier triángulo geodésico en es -delgado, como se ilustra en la figura de la derecha (entonces se dice que el espacio es -hiperbólico).
A priori esta definición depende de la elección de un grupo electrógeno finito . Que este no es el caso se desprende de los dos hechos siguientes:
- las gráficas de Cayley correspondientes a dos grupos generadores finitos son siempre cuasi-isométricas entre sí;
- cualquier espacio geodésico que es cuasi-isométrico a un espacio geodésico-hiperbólico de Gromov es en sí mismo Gromov-hiperbólico.
Por tanto, podemos hablar legítimamente de un grupo finitamente generado ser hiperbólico sin referirse a un grupo electrógeno. Por otro lado, un espacio que es cuasi-isométrico a un-el espacio hiperbólico es en sí mismo -hiperbólico para algunos pero este último depende tanto del original y en la cuasi-isometría, por lo que no tiene sentido hablar de ser -hiperbólico.
Observaciones
El lema de Švarc-Milnor [2] establece que si un grupoactúa correctamente de forma discontinua y con un cociente compacto (esta acción a menudo se llama geométrica ) en un espacio de longitud adecuado, entonces se genera finitamente, y cualquier gráfico de Cayley para es cuasi-isométrico para . Por lo tanto, un grupo es (finitamente generado e) hiperbólico si y solo si tiene una acción geométrica en un espacio hiperbólico adecuado.
Si es un subgrupo con índice finito (es decir, el conjunto es finito), entonces la inclusión induce una cuasi-isometría en los vértices de cualquier grafo de Cayley localmente finito de en cualquier grafo de Cayley localmente finito de . Por lo tanto es hiperbólico si y solo si sí mismo es. De manera más general, si dos grupos son conmensurables , entonces uno es hiperbólico si y solo si el otro lo es.
Ejemplos de
Grupos hiperbólicos elementales
Los ejemplos más simples de grupos hiperbólicos son grupos finitos (cuyas gráficas de Cayley son de diámetro finito, por lo tanto-hiperbólico con igual a este diámetro).
Otro ejemplo simple lo da el grupo cíclico infinito : el gráfico de Cayley de con respecto al grupo electrógeno es una línea, por lo que todos los triángulos son segmentos de línea y la gráfica es -hiperbólico. De ello se deduce que cualquier grupo que sea virtualmente cíclico (contiene una copia dede índice finito) también es hiperbólico, por ejemplo, el grupo diedro infinito .
Los miembros de esta clase de grupos a menudo se denominan grupos hiperbólicos elementales (la terminología está adaptada de la de acciones en el plano hiperbólico).
Grupos libres y grupos actuando sobre árboles.
Dejar ser un conjunto finito y ser el grupo libre con grupo electrógeno. Entonces la gráfica de Cayley de con respecto a es un árbol localmente finito y, por tanto, un espacio hiperbólico 0. Por lo tanto es un grupo hiperbólico.
De manera más general, vemos que cualquier grupo que actúa correctamente de forma discontinua en un árbol localmente finito (en este contexto, esto significa exactamente que los estabilizadores en de los vértices son finitos) es hiperbólico. De hecho, esto se deriva del hecho de quetiene un subárbol invariante sobre el que actúa con cociente compacto, y el lema Svarc-Milnor. De hecho, estos grupos son prácticamente libres (es decir, contienen un subgrupo libre de índice finito generado de forma finita), lo que da otra prueba de su hiperbolicidad.
Un ejemplo interesante es el grupo modular : actúa sobre el árbol dado por el esqueleto 1 de la teselación asociada del plano hiperbólico y tiene un subgrupo libre de índice finito (en dos generadores) de índice 6 (por ejemplo, el conjunto de matrices enque se reduce a la identidad módulo 2 es tal grupo). Tenga en cuenta una característica interesante de este ejemplo: actúa correctamente de forma discontinua en un espacio hiperbólico (el plano hiperbólico ) pero la acción no es cocompacta (y de hechono es cuasi-isométrico al plano hiperbólico).
Grupos fucsias
Generalizando el ejemplo del grupo modular, un grupo fucsiano es un grupo que admite una acción propiamente discontinua en el plano hiperbólico (de manera equivalente, un subgrupo discreto de). El plano hiperbólico es un-espacio hiperbólico y, por tanto, el lema de Svarc-Milnor nos dice que los grupos fucsianos cocompactos son hiperbólicos.
Ejemplos de ello son los grupos fundamentales de superficies cerradas de característica de Euler negativa . De hecho, estas superficies pueden obtenerse como cocientes del plano hiperbólico, como implica el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe .
Otra familia de ejemplos de grupos fucsianos cocompactos la dan los grupos triangulares : todos, excepto un número finito, son hiperbólicos.
Curvatura negativa
Generalizando el ejemplo de superficies cerradas, los grupos fundamentales de variedades compactas de Riemann con curvatura seccional estrictamente negativa son hiperbólicos. Por ejemplo, celosías cocompactas en el grupo ortogonal o unitario de una forma de firma son hiperbólicos.
Una generalización adicional la dan los grupos que admiten una acción geométrica en un espacio CAT (k) . [3] Existen ejemplos que no son comparables a ninguna de las construcciones anteriores (por ejemplo, grupos que actúan geométricamente sobre edificios hiperbólicos ).
Pequeños grupos de cancelación
Los grupos que tienen presentaciones que satisfacen pequeñas condiciones de cancelación son hiperbólicos. Esto da una fuente de ejemplos que no tienen un origen geométrico como los dados anteriormente. De hecho, una de las motivaciones para el desarrollo inicial de los grupos hiperbólicos fue dar una interpretación más geométrica de la pequeña cancelación.
Grupos aleatorios
En cierto sentido, "la mayoría" de los grupos presentados de forma finita con grandes relaciones definitorias son hiperbólicos. Para obtener una declaración cuantitativa de lo que esto significa, consulte Grupo aleatorio .
No ejemplos
- El ejemplo más simple de un grupo que no es hiperbólico es el grupo abeliano de rango 2 libre . De hecho, es cuasi-isométrico con respecto al plano euclidiano, que se ve fácilmente como no hiperbólico (por ejemplo, debido a la existencia de homotecias ).
- De manera más general, cualquier grupo que contenga como subgrupo no es hiperbólico. [4] [5] En particular, las celosías en los grupos de Lie semisimple de rango superior y los grupos fundamentales de complementos de nudos no triviales entran en esta categoría y, por lo tanto, no son hiperbólicos. Este también es el caso para mapear grupos de clases de superficies hiperbólicas cerradas.
- Los grupos Baumslag-Solitar B ( m , n ) y cualquier grupo que contenga un subgrupo isomorfo a algún B ( m , n ) no son hiperbólicos (ya que B (1,1) =, esto generaliza el ejemplo anterior).
- Una red no uniforme en un grupo de Lie simple de rango 1 es hiperbólica si y solo si el grupo es isógeno a(de manera equivalente, el espacio simétrico asociado es el plano hiperbólico). Un ejemplo de esto lo dan los grupos de nudos hiperbólicos . Otro son los grupos Bianchi , por ejemplo.
Propiedades
Propiedades algebraicas
- Los grupos hiperbólicos satisfacen la alternativa de Tits : o son virtualmente solucionables (esta posibilidad sólo la satisfacen los grupos hiperbólicos elementales) o tienen un subgrupo isomorfo a un grupo libre no beliano.
- Los grupos hiperbólicos no elementales no son simples en un sentido muy fuerte: si es hiperbólico no elemental, entonces existe un subgrupo infinito tal que y son ambos infinitos.
- No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea residualmente finito .
Propiedades geometricas
- Los grupos hiperbólicos no elementales (infinitos y no virtualmente cíclicos) tienen siempre una tasa de crecimiento exponencial (esto es una consecuencia de la alternativa de Tits).
- Los grupos hiperbólicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal . [6]
Propiedades homologicas
- Los grupos hiperbólicos siempre se presentan de forma finita . De hecho, se puede construir explícitamente un complejo (el complejo Rips ) que es contractible y sobre el que el grupo actúa geométricamente [7] por lo que es de tipo F ∞ . Cuando el grupo está libre de torsión, la acción es libre, lo que demuestra que el grupo tiene una dimensión cohomológica finita .
- En 2002, I. Mineyev demostró que los grupos hiperbólicos son exactamente aquellos grupos generados finitamente para los cuales el mapa de comparación entre la cohomología limitada y la cohomología ordinaria es sobreyectiva en todos los grados, o equivalentemente, en el grado 2. [8]
Propiedades algorítmicas
- Los grupos hiperbólicos tienen un problema verbal que se puede resolver . Son biautomáticos y automáticos . [9] De hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, hay una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptor de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.
- En 2010 se demostró que los grupos hiperbólicos tienen un marcado problema de isomorfismo decidible . [10] Es notable que esto significa que el problema del isomorfismo, los problemas de la órbita (en particular el problema de la conjugación) y el problema de Whitehead son todos decidibles.
- Cannon y Swenson han demostrado que los grupos hiperbólicos con 2 esferas en el infinito tienen una regla de subdivisión natural . [11] Esto está relacionado con la conjetura de Cannon .
Generalizaciones
Grupos relativamente hiperbólicos
Los grupos relativamente hiperbólicos son una clase que generaliza los grupos hiperbólicos. Muy aproximadamente [12] es hiperbólico en relación con una colección de subgrupos si admite una acción ( no necesariamente cocompacta ) propiamente discontinua en un espacio hiperbólico adecuado que es "agradable" en el límite de y tal que los estabilizadores en de los puntos en el límite son subgrupos en . Esto es interesante cuando ambos y la acción de en no son elementales (en particular es infinito: por ejemplo, ¡cada grupo es hiperbólico en relación a sí mismo a través de su acción en un solo punto!).
Ejemplos interesantes de esta clase incluyen en particular redes no uniformes en grupos de Lie semisimple de rango 1, por ejemplo, grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Los no ejemplos son celosías en grupos de Lie de rango superior y grupos de clases de mapeo.
Grupos acilíndricamente hiperbólicos
Una noción aún más general es la de un grupo acilíndicamente hiperbólico. [13] Acilindricidad de una acción de un grupo en un espacio métrico es un debilitamiento de la discontinuidad adecuada de la acción. [14]
Se dice que un grupo es acilíndricamente hiperbólico si admite una acción acilíndrica no elemental en un espacio hiperbólico de Gromov ( no necesariamente adecuado ). Esta noción incluye mapear grupos de clases a través de sus acciones en complejos de curvas . Las celosías en los grupos de Lie de rango superior no son (¡todavía!) Acilíndricamente hiperbólicas.
Grupos CAT (0)
En otra dirección, se puede debilitar la suposición sobre la curvatura en los ejemplos anteriores: un grupo CAT (0) es un grupo que admite una acción geométrica en un espacio CAT (0) . Esto incluye grupos cristalográficos euclidianos y redes uniformes en grupos de Lie de rango superior.
No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea CAT (0). [15]
Notas
- ^ Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, SM (ed.). Ensayos de teoría de grupos. Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, vol 8 . Nueva York, NY: Springer. págs. 75–263.
- ^ Bowditch, 2006 y teorema 3.6 .
- ^ para obtener una prueba de que esto incluye los ejemplos anteriores, consulte https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
- ^ Ghys y de la Harpe 1990 , Cap. 8, mar. 37.
- ^ Bridson y Haefliger 1999 , Capítulo 3.Γ, Corolario 3.10 ..
- ^ Bowditch 2006 , (F4) en el párrafo 6.11.2.
- ^ Ghys y de la Harpe 1990 , Chapitre 4.
- ^ Mineyev 2002 .
- ^ Charney 1992 .
- ^ Dahmani y Guirardel 2011 .
- ^ Cannon y Swenson 1998 .
- ^ Bowditch 2012 .
- ^ Osin, 2016 .
- ^ Con cierto detalle: pide que para cada allí existe tal que por cada dos puntos que son al menos aparte hay como máximo elementos satisfactorio y .
- ^ "¿Todos los grupos δ-hiperbólicos son CAT (0)?" . Stack Exchange . 10 de febrero de 2015.
Referencias
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 319 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9. Señor 1744486 .
- Bowditch, Brian (2006). Un curso sobre teoría de grupos geométricos (PDF) . Memorias de MSJ. 16 . Tokio: Sociedad Matemática de Japón . doi : 10.1142 / e003 . ISBN 4-931469-35-3. Señor 2243589 .
- Bowditch, Brian (2012). "Grupos relativamente hiperbólicos" (PDF) . Revista Internacional de Álgebra y Computación . 22 (3): 1250016, 66 págs. Doi : 10.1142 / S0218196712500166 . Señor 2922380 .
- Cannon, James W .; Swenson, Eric L. (1998). "Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3" . Transacciones de la American Mathematical Society . 350 (2): 809–849. doi : 10.1090 / S0002-9947-98-02107-2 . Señor 1458317 .
- Charney, Ruth (1992). "Los grupos Artin de tipo finito son biautomáticos". Mathematische Annalen . 292 (4): 671–683. doi : 10.1007 / BF01444642 . Señor 1157320 .
- Dahmani, François; Guirardel, Vincent (2011). "El problema del isomorfismo para todos los grupos hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . doi : 10.1007 / s00039-011-0120-0 .
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- Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, Steve M. (ed.). Ensayos en teoría de grupos . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. 8 . Nueva York: Springer. págs. 75–263. doi : 10.1007 / 978-1-4613-9586-7_3 . ISBN 0-387-96618-8. Señor 0919829 .
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Otras lecturas
- Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [ Geometría y teoría de grupos: grupos hiperbólicos de Gromov ]. Lecture Notes in Mathematics (en francés). 1441 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0084913 . ISBN 3-540-52977-2. Señor 1075994 .
- Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Dinámica simbólica y grupos hiperbólicos . Apuntes de clase en matemáticas. 1539 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0092577 . ISBN 3-540-56499-3. Señor 1222644 .
- "Espacio hiperbólico de Gromov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]