En geometría algebraica , un esquema suave sobre un campo es un esquema que se aproxima bien por espacio afín cerca de cualquier punto. La suavidad es una forma de precisar la noción de un esquema sin puntos singulares . Un caso especial es la noción de una variedad uniforme sobre un campo. Los esquemas suaves desempeñan un papel en la geometría algebraica de las variedades en topología.
Primero, sea X un esquema afín de tipo finito sobre un campo k . De manera equivalente, X tiene una inmersión cerrada en un espacio afín A n sobre k para algún número natural n . Entonces X es el subesquema cerrado definido por algunas ecuaciones g 1 = 0, ..., g r = 0, donde cada g i está en el anillo polinomial k [ x 1 ,..., x n ]. El esquema afín X es suavede dimensión m sobre k si X tiene dimensión al menos m en una vecindad de cada punto, y la matriz de derivadas (∂ g i /∂ x j ) tiene rango al menos n − m en todas partes de X . [1] (Se deduce que X tiene una dimensión igual a m en una vecindad de cada punto.) La suavidad es independiente de la elección de la inmersión de X en el espacio afín.
Se entiende que la condición sobre la matriz de derivadas significa que el subconjunto cerrado de X donde todos los ( n − m ) × ( n − m ) menores de la matriz de derivadas son cero es el conjunto vacío. De manera equivalente, el ideal en el anillo polinomial generado por todos los g i y todos esos menores es el anillo polinomial completo.
En términos geométricos, la matriz de derivadas (∂ g i /∂ x j ) en un punto p en X da un mapa lineal F n → F r , donde F es el campo de residuos de p . El núcleo de este mapa se llama el espacio tangente de Zariski de X en p . Suavidad de X significa que la dimensión del espacio tangente de Zariski es igual a la dimensión de X cerca de cada punto; en un punto singular , el espacio tangente de Zariski sería mayor.
Más generalmente, un esquema X sobre un campo k es suave sobre k si cada punto de X tiene una vecindad abierta que es un esquema afín suave de alguna dimensión sobre k . En particular, un esquema suave sobre k es localmente de tipo finito .
Existe una noción más general de un morfismo suave de esquemas, que es aproximadamente un morfismo con fibras suaves. En particular, un esquema X es suave sobre un campo k si y solo si el morfismo X → Spec k es suave.