Suavidad

En análisis matemático , la suavidad de una función es una propiedad medida por el número de derivadas continuas que tiene sobre algún dominio. ^[1] Como mínimo, una función podría considerarse suave si es diferenciable en todas partes (por lo tanto, continua). ^[2] En el otro extremo, también podría poseer derivadas de todos los órdenes en su dominio , en cuyo caso se dice que es infinitamente diferenciable y se denomina función (o función) C-infinito . ^[3] $C^{\infty}$

La clase de derivabilidad es una clasificación de funciones según las propiedades de sus derivadas . Es una medida del orden más alto de derivada que existe para una función.

Considere un conjunto abierto en la línea real y una función f definida en ese conjunto con valores reales. Sea k un entero no negativo . Se dice que la función f es de (diferenciabilidad) clase C ^k si las derivadas f ′, f ″, ..., f ^{( k )} existen y son continuas . Se dice que la función f es infinitamente diferenciable , suave o de clase C ^∞ , si tiene derivadas de todos los órdenes.^[4] Se dice que la función f es de clase C ^ω , o analítica , si f es uniforme y si su desarrollo en serie de Taylor alrededor de cualquier punto de su dominio converge a la función en alguna vecindad del punto. C ^ω está por lo tanto estrictamente contenido en C ^∞ . Las funciones de choque son ejemplos de funciones en C ^∞ pero no en C ^ω .

Para decirlo de otra manera, la clase C ⁰ consiste en todas las funciones continuas. La clase C ¹ consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se llaman continuamente diferenciables . Así, una función C ¹ es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase C ⁰ . En general, las clases C ^k se pueden definir recursivamente declarando que C ⁰ es el conjunto de todas las funciones continuas y declarando C ^k para cualquier entero positivo kser el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en C ^{k −1} . En particular, C ^k está contenido en C ^{k −1} para todo k > 0, y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta ( C ^k ⊊ C ^{k −1} ). La clase C ^∞ de funciones infinitamente diferenciables, es la intersección de las clases C ^k cuando k varía sobre los enteros no negativos.

Debido a que oscila cuando $x$ → 0, no es continua en cero. Por tanto, es diferenciable pero no de clase C ¹ . Además, si se toma ( $x$ ≠ 0) en este ejemplo, se puede usar para mostrar que la función derivada de una función diferenciable puede ser ilimitada en un conjunto compacto y, por lo tanto, que una función diferenciable en un conjunto compacto puede no serlo. localmente Lipschitz continuo . ${\ estilo de visualización \ cos (1/x)}$ ${\ estilo de visualización g'(x)}$ ${\ estilo de visualización g (x)}$ $g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)$

La función exponencial es analítica y, por lo tanto, cae en la clase C ^ω . Las funciones trigonométricas también son analíticas dondequiera que estén definidas.