Desigualdad de Sobolev

En matemáticas , existe en el análisis matemático una clase de desigualdades de Sobolev , normas relacionadas que incluyen las de los espacios de Sobolev . Estos se utilizan para probar el teorema de incrustación de Sobolev , que proporciona inclusiones entre ciertos espacios de Sobolev , y el teorema de Rellich-Kondrachov que muestra que, en condiciones ligeramente más fuertes, algunos espacios de Sobolev están incrustados de forma compacta en otros. Llevan el nombre de Sergei Lvovich Sobolev .

Sea W ^k,p ( R ⁿ ) el espacio de Sobolev que consta de todas las funciones de valor real en R ⁿ cuyas primeras k derivadas débiles son funciones en L ^p . Aquí k es un número entero no negativo y 1 ≤ p < ∞ . La primera parte del teorema de incrustación de Sobolev establece que si k > ℓ , p < n y 1 ≤ p < q < ∞ son dos números reales tales que

Este caso especial de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev . El resultado debe interpretarse como que si una función en tiene una derivada en , entonces tiene un comportamiento local mejorado, lo que significa que pertenece al espacio donde . (Tenga en cuenta que , por lo que .) Por lo tanto, cualquier singularidad local en debe ser más leve que para una función típica en .${\ estilo de visualización f}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\ estilo de visualización L^{p}}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización L^{p^{*}}}$${\displaystyle p^{*}>p}$${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$${\displaystyle p^{*}>p}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización L^{p}}$

La segunda parte del teorema de incrustación de Sobolev se aplica a incrustaciones en espacios de Hölder C ^r,α ( R ⁿ ) . Si n < pk y

Esta parte de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Morrey . Intuitivamente, esta inclusión expresa el hecho de que la existencia de suficientes derivadas débiles implica cierta continuidad de las derivadas clásicas. Si entonces para cada .${\ estilo de visualización \ alfa = 1}$${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subconjunto C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$${\ estilo de visualización \ gamma \ en (0,1)}$

Representación gráfica de las condiciones de incrustación. El espacio W ^3,p , representado por un punto azul en el punto (1/ p , 3) , se incrusta en los espacios indicados por puntos rojos, todos sobre una línea con pendiente n . El círculo blanco en (0,0) indica la imposibilidad de incrustaciones óptimas en L ^∞ .

Si la línea de la imagen de arriba se cruza con el eje y en s = r + α , se mantiene la incrustación en un espacio de Hölder C ^{r, α} (rojo). Los círculos blancos indican puntos de intersección en los que las incorporaciones óptimas no son válidas.