En geometría , el hexlet de Soddy es una cadena de seis esferas (mostradas en gris en la Figura 1), cada una de las cuales es tangente a sus dos vecinas y también a tres esferas dadas mutuamente tangentes. En la Figura 1, las tres esferas son la esfera interior roja y dos esferas (no mostradas) por encima y por debajo del plano en el que se encuentran los centros de las esferas de hexlet. Además, las esferas de hexlet son tangentes a una cuarta esfera (la esfera exterior azul en la Figura 1), que no es tangente a las otras tres.
Según un teorema publicado por Frederick Soddy en 1937, [1] siempre es posible encontrar un hexlet para cualquier elección de esferas A , B y C mutuamente tangentes . De hecho, existe una familia infinita de hexlets relacionados por rotación y escalamiento de las esferas de hexlets (Figura 1); en esto, el hexlet de Soddy es el análogo esférico de una cadena Steiner de seis círculos. [2] De acuerdo con las cadenas de Steiner, los centros de las esferas hexlet se encuentran en un solo plano, en una elipse. El hexlet de Soddy también se descubrió de forma independiente en Japón, como muestran las tablillas de Sangaku de 1822 en la prefectura de Kanagawa. [3]
Definición
El hexlet de Soddy es una cadena de seis esferas, etiquetadas S 1 - S 6 , cada una de las cuales es tangente a tres esferas dadas, A , B y C , que son mutuamente tangentes en tres puntos distintos. (Para mantener la coherencia en todo el artículo, las esferas de hexlet siempre se representarán en gris, las esferas A y B en verde y la esfera C en azul). Las esferas de hexlet también son tangentes a una cuarta esfera fija D (siempre mostrada en rojo) que no es tangente a los otros tres, a , B y C .
Cada esfera del hexlet de Soddy también es tangente a sus vecinas en la cadena; por ejemplo, la esfera S 4 es tangente a S 3 y S 5 . La cadena está cerrada, lo que significa que cada esfera de la cadena tiene dos vecinos tangentes; en particular, las esferas inicial y final, S 1 y S 6 , son tangentes entre sí.
Hexlet anular
El hexlet anular de Soddy es un caso especial (Figura 2), en el que las tres esferas mutuamente tangentes consisten en una sola esfera de radio r (azul) intercalada entre dos planos paralelos (verde) separados por una distancia perpendicular 2 r . En este caso, el maleficio de Soddy consta de seis esferas de radio r empaquetadas como cojinetes de bolas alrededor de la esfera central e igualmente intercaladas. Las esferas de hexlet también son tangentes a una cuarta esfera (roja), que no es tangente a las otras tres.
La cadena de seis esferas se puede rotar alrededor de la esfera central sin afectar sus tangencias, lo que demuestra que existe una familia infinita de soluciones para este caso. A medida que se rotan, las esferas del hexlet trazan un toro (una superficie en forma de rosquilla); en otras palabras, un toro es la envoltura de esta familia de maleficios.
Solución por inversión
El problema general de encontrar un hexlet para tres esferas A , B y C mutuamente tangentes dadas se puede reducir al caso anular mediante la inversión . Esta operación geométrica siempre transforma esferas en esferas o en planos, que pueden considerarse esferas de radio infinito. Una esfera se transforma en un plano si y solo si la esfera pasa por el centro de inversión. Una ventaja de la inversión es que conserva la tangencia; si dos esferas son tangentes antes de la transformación, seguirán siéndolo después. Por lo tanto, si se elige juiciosamente la transformación de inversión, el problema se puede reducir a un caso más simple, como el hexlet anular de Soddy. La inversión es reversible; la repetición de una inversión en el mismo punto devuelve los objetos transformados a su tamaño y posición originales.
Inversion en el punto de tangencia entre las esferas A y B los transforma en planos paralelos, que pueden estar indicados como una y b . Dado que la esfera C es tangente a A y B y no pasa por el centro de inversión, C se transforma en otra esfera c que es tangente a ambos planos; Por lo tanto, c se intercala entre los dos planos de una y b . Este es el hexlet anular de Soddy (Figura 2). Seis esferas s 1 - s 6 pueden envasarse alrededor de c y del mismo modo intercalado entre los planos de delimitación una y b . La re-inversión restaura las tres esferas originales y transforma s 1 - s 6 en un hexlet para el problema original. En general, estas esferas hexagonales S 1 - S 6 tienen diferentes radios.
Se puede generar una variedad infinita de hexlets girando las seis bolas s 1 - s 6 en su plano en un ángulo arbitrario antes de re-invertirlas. La envolvente producido por tales rotaciones es el toroide que rodea la esfera c y se intercala entre los dos planos de una y b ; por tanto, el toro tiene un radio interior ry un radio exterior 3 r . Después de la re-inversión, este toro se convierte en un ciclón de Dupin (Figura 3).
Cicluro de Dupin
La envoltura de los hexlets de Soddy es un ciclón de Dupin , una inversión del toro . Así, la construcción de Soddy muestra que un ciclón de Dupin es la envoltura de una familia de esferas de un parámetro de dos formas diferentes, y cada esfera en cada familia es tangente a dos esferas en la misma familia y tres esferas en la otra familia. [4] Este resultado probablemente lo conocía Charles Dupin , quien descubrió los ciclidos que llevan su nombre en su disertación de 1803 con Gaspard Monge . [5]
Relación con las cadenas de Steiner
La intersección del hexlet con el plano de sus centros esféricos produce una cadena de Steiner de seis círculos.
Hexlets parabólicos e hiperbólicos
Se supone que las esferas A y B tienen el mismo tamaño.
En cualquier hexlet elíptico , como el que se muestra en la parte superior del artículo, hay dos planos tangentes al hexlet. Para que exista un hexlet elíptico, el radio de C debe ser menos de un cuarto del de A. Si el radio de C es un cuarto de A, cada esfera se convertirá en un plano en el viaje. Sin embargo, la imagen invertida muestra un hexlet elíptico normal, y en el hexlet parabólico , el punto donde una esfera se convierte en un plano es precisamente cuando su imagen invertida pasa por el centro de inversión. En un hexlet de este tipo solo hay un plano tangente al hexlet. La línea de los centros de un hexlet parabólico es una parábola.
Si C es incluso más grande que eso, se forma un hexlet hiperbólico y ahora no hay planos tangentes en absoluto. Rotula las esferas S 1 a S 6 . Por tanto, S 1 no puede ir muy lejos hasta que se convierte en un plano (donde su imagen invertida pasa por el centro de inversión) y luego invierte su concavidad (donde su imagen invertida rodea el centro de inversión). Ahora la línea de los centros es una hipérbola.
El caso límite es cuando A, B y C son todos del mismo tamaño. El hexlet ahora se vuelve recto. S 1 es pequeño cuando pasa por el agujero entre A, B y C, y crece hasta convertirse en un plano tangente a ellos. El centro de inversión ahora también está con un punto de tangencia con la imagen de S 6 , por lo que también es un plano tangente a A, B y C. A medida que avanza S 1 , su concavidad se invierte y ahora rodea todas las demás esferas. , tangente a A, B, C, S 2 y S 6 . S 2 empuja hacia arriba y crece hasta convertirse en un plano tangente y S 6 se contrae. S 1 obtiene entonces la posición anterior de S 6 como un plano tangente. Luego invierte la concavidad nuevamente y pasa por el agujero nuevamente, comenzando otro viaje de ida y vuelta. Ahora la línea de centros es una hipérbola degenerada , donde se ha derrumbado en dos líneas rectas. [2]
Tabletas de Sangaku
Los matemáticos japoneses descubrieron el mismo hechizo más de cien años antes que Soddy. Analizaron los problemas de empaquetamiento en los que entran en contacto círculos y polígonos, bolas y poliedros y, a menudo, encontraron los teoremas relevantes de forma independiente antes de su descubrimiento por los matemáticos occidentales. A menudo los publicaron como sangaku . El sangaku sobre el hexlet lo hizo Irisawa Shintarō Hiroatsu en la escuela de Uchida Itsumi y se dedicó al santuario Samukawa en mayo de 1822. El sangaku original se perdió, pero se registró en el libro de Kokonsankan de Uchida en 1832. Una réplica del sangaku se hizo a partir del registro y se dedicó al museo Hōtoku en el Santuario Samukawa en agosto de 2009. [6]
El sangaku de Irisawa consta de tres problemas. El tercer problema se relaciona con el hexlet de Soddy: "el diámetro de la esfera circunscrita exterior es 30 sol . Los diámetros de las bolas del núcleo son 10 sol y 6 sol cada una. El diámetro de una de las bolas en la cadena de bolas es 5 sol. Luego pregunté por los diámetros de las bolas restantes. La respuesta es 15 sol, 10 sol, 3,75 sol, 2,5 sol y 2 + 8/11 sol ". [7]
En su respuesta, se escribe el método para calcular los diámetros de las bolas y se pueden considerar las siguientes fórmulas que se darán en la escala moderna. [ Aclaración necesaria ] Si las proporciones del diámetro de la pelota fuera a cada una de las bolas de núcleo son un 1 , un 2 , y si las relaciones de diámetro a las bolas de cadena son c 1 , ..., c 6 . queremos representar c 2 , ..., c 6 en términos de un 1 , un 2 , y c 1 . Si
luego,
- .
Entonces c 1 + c 4 = c 2 + c 5 = c 3 + c 6 .
Si r 1 , ..., r 6 son los diámetros de seis bolas, obtenemos la fórmula:
Ver también
Notas
- ^ Soddy 1937
- ↑ a b Ogilvy 1990
- ^ Rothman 1998
- ^ Coxeter 1952
- ^ O'Connor y Robertson 2000
- ^ Yamaji y Nishida 2009 , p. 443.
- ^ Amano 1992 , págs. 21-24.
Referencias
- Amano, Hiroshi (1992), Colección Sangaku en la prefectura de Kanagawa (Kanagawa-ken Sangaku-syū en japonés) , Amano, Hiroshi.
- Coxeter, HSM (1952), "Anillos entrelazados de esferas", Scripta Mathematica , 18 : 113-121.
- Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Tony (2008), Matemáticas sagradas: geometría del templo japonés , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12745-3
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (2000), "Pierre Charles François Dupin" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas.
- Ogilvy, CS (1990), Excursiones en geometría , Dover, ISBN 0-486-26530-7.
- Soddy, Frederick (1937), "El cuenco de números enteros y el maleficio", Nature , Londres, 139 (3506): 77–79, doi : 10.1038 / 139077a0.
- Rothman, T (1998), "Japanese Temple Geometry", Scientific American , 278 : 85–91, doi : 10.1038 / scientificamerican0598-84.
- Yamaji, Katsunori; Nishida, Tomomi, eds. (2009), Diccionario de Wasan (Wasan no Jiten en japonés) , Asakura, ISBN 978-4-254-11122-4.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Hexlet" . MathWorld .
- B. Allanson. "Animación del maleficio de Soddy" .
- Geometría del templo japonés en la Wayback Machine (archivada el 19 de marzo de 2019): la animación 0 del PROBLEMA 0 de SANGAKU muestra el caso en que los radios de las esferas A y B son iguales entre sí y los centros de las esferas A, B y C están en el línea. La animación 1 muestra el caso en que los radios de las esferas A y B son iguales y los centros de las esferas A, B y C no están en la línea. La animación 2 muestra el caso en el que los radios de las esferas A y B no son iguales entre sí. La animación 3 muestra el caso en que los centros de las esferas A, B y C están en la línea y los radios de las esferas A y B son variables.
- Réplica de Sangaku en el museo Hōtoku en el Santuario Samukawa en Wayback Machine (archivado el 26 de agosto de 2016) - El tercer problema se relaciona con el hechizo de Soddy.
- La página de Kokonsankan (1832) - Departamento de Matemáticas, Universidad de Kyoto
- La página de Kokonsankan (1832) : la página de la izquierda se relaciona con el hechizo de Soddy.