teorema de descartes
En geometría , el teorema de Descartes establece que por cada cuatro círculos que se besan o tangentes entre sí , los radios de los círculos satisfacen una cierta ecuación cuadrática . Al resolver esta ecuación, uno puede construir un cuarto círculo tangente a tres círculos dados, mutuamente tangentes. El teorema lleva el nombre de René Descartes , quien lo enunció en 1643.
Los problemas geométricos que involucran círculos tangentes se han reflexionado durante milenios. En la antigua Grecia del siglo III a. C., Apolonio de Perge dedicó un libro completo al tema.
René Descartes discutió brevemente el problema en 1643, en una carta a la princesa Isabel del Palatinado . Se le ocurrió esencialmente la misma solución que se da en la ecuación (1) a continuación y, por lo tanto, adjuntó su nombre al teorema.
Fueron redescubiertos en 1826 por Jakob Steiner , en 1842 por Philip Beecroft, [1] y en 1936 por Frederick Soddy . Los círculos de besos en este problema a veces se conocen como círculos de Soddy , quizás porque Soddy decidió publicar su versión del teorema en forma de un poema titulado The Kiss Precise , que se publicó en Nature (20 de junio de 1936). Soddy también extendió el teorema a las esferas; Thorold Gosset extendió el teorema a dimensiones arbitrarias.
El teorema de Descartes se expresa más fácilmente en términos de las curvaturas de los círculos . La curvatura (o doblez ) de un círculo se define como k = ±1/ r , donde r es su radio. Cuanto más grande es un círculo, menor es la magnitud de su curvatura, y viceversa.
El signo más en k = ±1/ r se aplica a un círculo que es tangente externamente a los otros círculos, como los tres círculos negros de la imagen. Para un círculo internamente tangente como el gran círculo rojo, que circunscribe a los otros círculos, se aplica el signo negativo.
