Línea de campo

Una línea de campo es una ayuda visual gráfica para visualizar campos vectoriales . Consiste en una línea dirigida que es tangente al vector de campo en cada punto a lo largo de su longitud. ^{[1] [2]} Un diagrama que muestra un conjunto representativo de líneas de campo vecinas es una forma común de representar un campo vectorial en la literatura científica y matemática; esto se llama diagrama de línea de campo . Se utilizan para mostrar campos eléctricos , campos magnéticos y campos gravitacionales, entre muchos otros tipos. En las líneas de campo de la mecánica de fluidos que muestran la velocidadcampo de un flujo de fluido se denominan líneas de corriente .

Líneas de campo que representan el campo eléctrico creado por una carga positiva (izquierda), una carga negativa (centro) y un objeto sin carga (derecha).

Definición y descripción

La figura de la izquierda muestra las líneas del campo eléctrico de dos cargas positivas iguales. La figura de la derecha muestra las líneas del campo eléctrico de dos cargas iguales de signo opuesto.

Un campo vectorial define una dirección y una magnitud en cada punto del espacio. Se puede construir una línea de campo para ese campo vectorial comenzando en un punto y trazando una línea a través del espacio que siga la dirección del campo vectorial, haciendo que la línea de campo sea tangente al vector de campo en cada punto. ^{[3] [2] [1]} Una línea de campo generalmente se muestra como un segmento de línea dirigido, con una flecha que indica la dirección del campo vectorial. Para campos bidimensionales, las líneas de campo son curvas planas y la mayoría de los diagramas de líneas de campo son de este tipo. Dado que en cada punto donde es distinto de cero y finito, el campo vectorial tiene una dirección única, las líneas de campo nunca pueden cruzarse, por lo que hay exactamente una línea de campo que pasa por cada punto en el que el campo vectorial es distinto de cero y finito. ^{[3] [2] Los} puntos donde el campo es cero o infinito no tienen una línea de campo a través de ellos, ya que la dirección no se puede definir allí, pero pueden ser los puntos finales de las líneas de campo.

Dado que hay un número infinito de puntos, se puede dibujar un número infinito de líneas de campo; pero solo se puede mostrar un número limitado en un diagrama de líneas de campo. Por lo tanto, qué líneas de campo se muestran es una elección realizada por la persona o el programa de computadora que dibuja el diagrama, y ​​un solo campo vectorial puede ser representado por diferentes conjuntos de líneas de campo. Un diagrama de líneas de campo es necesariamente una descripción incompleta de un campo vectorial, ya que no proporciona información sobre el campo entre las líneas de campo dibujadas, y la elección de cuántas y qué líneas mostrar determina cuánta información útil proporciona el diagrama.

Las líneas de campo comenzarán en la fuente de un campo vectorial, donde su divergencia es positiva. Las líneas de campo que van al sumidero de un campo vectorial, donde la divergencia es negativa, tendrán allí su fin. Las líneas de campo también pueden formar bucles cerrados , o extenderse hacia o desde el infinito, o continuar para siempre sin cerrarse sobre sí mismas. ^{[4] [5]} Una línea de campo individual muestra la dirección del campo vectorial pero no la magnitud . Para representar también la magnitud del campo, se puede dibujar una selección de líneas de campo de modo que la densidad de las líneas de campo (número de líneas de campo por unidad de área perpendicular) en cualquier ubicación sea proporcional a la magnitud del campo vectorial en ese punto. Las áreas en las que las líneas de campo vecinas están convergiendo (acercándose) indican que el campo se está volviendo más fuerte en esa dirección.

En física, los dibujos de líneas de campo son principalmente útiles en los casos en que las fuentes y sumideros, si los hay, tienen un significado físico, a diferencia del caso, por ejemplo, de un campo de fuerza de un armónico radial . Por ejemplo, la ley de Gauss establece que un campo eléctrico tiene fuentes con cargas positivas , se hunde con cargas negativas y no en ninguna otra parte, por lo que las líneas de campo eléctrico comienzan con cargas positivas y terminan con cargas negativas. Un campo gravitacional no tiene fuentes, tiene sumideros en masas y no tiene ninguna otra parte, las líneas del campo gravitacional provienen del infinito y terminan en masas. Un campo magnético no tiene fuentes ni sumideros ( ley de Gauss para el magnetismo ), por lo que sus líneas de campo no tienen comienzo ni fin: solo pueden formar bucles cerrados, extenderse hasta el infinito en ambas direcciones o continuar indefinidamente sin cruzarse nunca. Sin embargo, como se indicó anteriormente, puede ocurrir una situación especial alrededor de los puntos donde el campo es cero (que no pueden ser cruzados por líneas de campo, porque su dirección no estaría definida) y tiene lugar el comienzo y el final simultáneos de las líneas de campo. Esta situación ocurre, por ejemplo, en el medio entre dos cargas puntuales eléctricas positivas idénticas. Allí, el campo se desvanece y las líneas que vienen axialmente de las cargas terminan. Al mismo tiempo, en el plano transversal que pasa por el punto medio, un número infinito de líneas de campo divergen radialmente. La presencia concomitante de las líneas que terminan y comienzan conserva el carácter libre de divergencias del campo en el punto. ^[5]

Tenga en cuenta que para este tipo de dibujo, donde se pretende que la densidad de la línea de campo sea proporcional a la magnitud del campo, es importante representar las tres dimensiones. Por ejemplo, considere el campo eléctrico que surge de una sola carga puntual aislada . Las líneas del campo eléctrico en este caso son líneas rectas que emanan de la carga de manera uniforme en todas las direcciones en el espacio tridimensional. Esto significa que su densidad es proporcional a${\displaystyle 1/r^{2}}$, el resultado correcto consistente con la ley de Coulomb para este caso. Sin embargo, si las líneas de campo eléctrico para esta configuración se dibujaran en un plano bidimensional, su densidad bidimensional sería proporcional a${\displaystyle 1/r}$, un resultado incorrecto para esta situación. ^[6]

Construcción

Construcción de una línea de campo

Dado un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ y un punto de partida ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$ una línea de campo se puede construir iterativamente encontrando el vector de campo en ese punto ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})}$. El vector unitario tangente en ese punto es:${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}$. Moviéndose una distancia corta${\displaystyle ds}$ a lo largo de la dirección del campo se puede encontrar un nuevo punto en la línea

${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{1}}=\mathbf {x} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}ds}$

Entonces el campo en ese punto ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{1}})}$ se encuentra y se mueve una distancia más ${\displaystyle ds}$ en esa dirección el siguiente punto ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{2}})}$de la línea de campo. En cada punto${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i}}}$ el siguiente punto se puede encontrar por

${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i+1}}=\mathbf {x} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}})|}ds}$

Repitiendo esto y conectando los puntos, la línea de campo se puede extender tanto como se desee. Esto es solo una aproximación a la línea de campo real, ya que cada segmento recto no es realmente tangente al campo a lo largo de su longitud, solo en su punto de partida. Pero al usar un valor lo suficientemente pequeño para${\displaystyle ds}$, tomando un mayor número de pasos más cortos, la línea de campo se puede aproximar tanto como se desee. La línea de campo se puede extender en la dirección opuesta a${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$ dando cada paso en la dirección opuesta usando un paso negativo ${\displaystyle -ds}$.

Ejemplos de

Diferentes formas de representar el campo de un imán.

Si el campo vectorial describe un campo de velocidad , entonces las líneas de campo siguen las líneas de corriente en el flujo. Quizás el ejemplo más familiar de un campo vectorial descrito por líneas de campo es el campo magnético , que a menudo se representa usando líneas de campo que emanan de un imán .

Divergencia y rizo

Las líneas de campo se pueden usar para rastrear cantidades familiares a partir del cálculo vectorial :

• La divergencia se puede ver fácilmente a través de las líneas de campo, asumiendo que las líneas están dibujadas de manera que la densidad de las líneas de campo sea proporcional a la magnitud del campo (ver arriba). En este caso, la divergencia puede verse como el comienzo y el final de las líneas de campo. Si el campo vectorial es la resultante de campos radiales de la ley del cuadrado inverso con respecto a una o más fuentes, esto corresponde al hecho de que la divergencia de dicho campo es cero fuera de las fuentes. En un campo vectorial solenoidal (es decir, un campo vectorial donde la divergencia es cero en todas partes), las líneas del campo no comienzan ni terminan; forman bucles cerrados o se van al infinito en ambas direcciones. Si un campo vectorial tiene divergencia positiva en alguna área, habrá líneas de campo a partir de puntos en esa área. Si un campo vectorial tiene divergencia negativa en alguna área, habrá líneas de campo que terminen en puntos de esa área.
• El teorema de Kelvin-Stokes muestra que las líneas de campo de un campo vectorial con curvatura cero (es decir, un campo vectorial conservador , por ejemplo, un campo gravitacional o un campo electrostático ) no pueden ser lazos cerrados. En otras palabras, la curvatura siempre está presente cuando una línea de campo forma un bucle cerrado. También puede estar presente en otras situaciones, como una forma helicoidal de líneas de campo.

Importancia física

"> Reproducir medios

Cuando se dejan caer al azar (como con el agitador aquí), las limaduras de hierro se organizan para representar aproximadamente algunas líneas de campo magnético. El campo magnético es creado por un imán permanente debajo de la superficie del vidrio.