Buscamos una expansión que sea de segundo orden en temperatura, es decir, para , dónde es el producto de la temperatura y la constante de Boltzmann . Comience con un cambio de variables para:
Dividir el rango de integración, y reescribir usando el cambio de variables :
A continuación, emplee un 'truco' algebraico en el denominador de ,
para obtener:
Regrese a las variables originales con en el primer trimestre de . Combinar para obtener:
El numerador del segundo término se puede expresar como una aproximación a la primera derivada, siempre que es suficientemente pequeño y es suficientemente suave:
para obtener,
Se sabe que la integral definida [3] es:
- .
Por eso,
Podemos obtener términos de orden superior en la expansión de Sommerfeld mediante el uso de una función generadora para momentos de la distribución de Fermi. Esto viene dado por
Aquí y función de escalón Heaviside resta la contribución divergente de temperatura cero. Ampliando los poderes deda, por ejemplo [4]
Una función generadora similar para los momentos impares de la función de Bose es