Cuadrícula dispersa

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Las rejillas dispersas son técnicas numéricas para representar, integrar o interpolar funciones de alta dimensión . Fueron desarrollados originalmente por el matemático ruso Sergey A. Smolyak , alumno de Lazar Lyusternik , y se basan en una construcción de producto tensorial disperso. Más tarde, Michael Griebel y Christoph Zenger desarrollaron algoritmos informáticos para implementaciones eficientes de dichas redes .

La forma estándar de representar funciones multidimensionales son tensores o cuadrículas completas. El número de funciones básicas o nodos (puntos de cuadrícula) que deben almacenarse y procesarse depende exponencialmente del número de dimensiones.

La maldición de la dimensionalidad se expresa en el orden del error de integración que se hace por una cuadratura de nivel , con puntos. La función tiene regularidad , es decir, es diferenciable en tiempos. El número de dimensiones es .${\ estilo de visualización l}$${\ estilo de visualización N_ {l}}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización d}$

${\displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})}$

Smolyak encontró un método computacionalmente más eficiente para integrar funciones multidimensionales basado en una regla de cuadratura univariante . La integral de Smolyak -dimensional de una función se puede escribir como una fórmula recursiva con el producto tensorial .${\displaystyle Q^{(1)}}$${\ estilo de visualización d}$${\displaystyle Q^{(d)}}$${\ estilo de visualización f}$

${\displaystyle Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum_{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1} ^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$

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