Cuadrícula dispersa

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Las cuadrículas dispersas son técnicas numéricas para representar, integrar o interpolar funciones de alta dimensión . Fueron desarrollados originalmente por el matemático ruso Sergey A. Smolyak , un estudiante de Lazar Lyusternik , y se basan en una construcción de producto tensorial escasa. Más tarde, Michael Griebel y Christoph Zenger desarrollaron algoritmos informáticos para implementaciones eficientes de tales cuadrículas .

La forma estándar de representar funciones multidimensionales es tensor o cuadrículas completas. El número de funciones o nodos base (puntos de la cuadrícula) que deben almacenarse y procesarse depende exponencialmente del número de dimensiones. Incluso con el poder computacional actual, no es posible procesar funciones con más de 4 o 5 dimensiones ^{[ cita requerida ]} .

La maldición de la dimensionalidad se expresa en el orden del error de integración que se realiza por una cuadratura de nivel , con puntos. La función tiene regularidad , es decir, es diferenciable en el tiempo. El número de dimensiones es .${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle N_ {l}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle d}$

${\displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})}$

Smolyak encontró un método computacionalmente más eficiente para integrar funciones multidimensionales basado en una regla de cuadratura univariante . La integral de Smolyak -dimensional de una función se puede escribir como una fórmula de recursividad con el producto tensorial .${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q^{(d)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$

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