Multicónica

Comparación del periodograma (negro) y la estimación de múltiples cónicos (rojo) de una medición del potencial de campo local de un solo ensayo. Esta estimación utilizó 9 conos.

En el procesamiento de señales , el método multitaper es una técnica ^[1] desarrollado por David J. Thomson para estimar el espectro de potencia S _X de un estacionaria ergódico finito-varianza proceso aleatorio X , dado un contigua finito realización de X como datos. Es uno de varios enfoques para la estimación de la densidad espectral .

Motivación

El método de múltiples cónicos supera algunas de las limitaciones del análisis de Fourier convencional . Al aplicar la transformada de Fourier para extraer información espectral de una señal, asumimos que cada coeficiente de Fourier es una representación confiable de la amplitud y fase relativa de la frecuencia del componente correspondiente. Sin embargo, esta suposición no siempre es válida. Por ejemplo, un solo ensayo representa solo una realización ruidosa del proceso subyacente de interés. Una situación comparable surge en las estadísticas al estimar medidas de tendencia central.es decir, es una mala práctica estimar las cualidades de una población utilizando individuos o muestras muy pequeñas. Asimismo, una sola muestra de un proceso no proporciona necesariamente una estimación fiable de sus propiedades espectrales. Además, la densidad espectral de potencia ingenua obtenida de la transformada de Fourier de la señal es una estimación sesgada del contenido espectral verdadero.

Estos problemas a menudo se superan promediando muchas realizaciones del mismo evento. Sin embargo, este método no es confiable con conjuntos de datos pequeños y no es deseable cuando no se desea atenuar los componentes de la señal que varían entre los ensayos. En lugar de promediar el conjunto , el método de múltiples cónicos reduce el sesgo de estimación al obtener múltiples estimaciones independientes de la misma muestra. Cada cono de datosse multiplica elemento por la señal para proporcionar una prueba de ventana a partir de la cual se estima la potencia en cada frecuencia de componente. Como cada estrechamiento es ortogonal por pares a todos los demás ahusamientos, las señales de ventana proporcionan estimaciones estadísticamente independientes del espectro subyacente. El espectro final se obtiene promediando todos los espectros ahusados. Thomson eligió las secuencias esferoidales de Slepian o discretas prolate como ahusamientos ya que estos vectores son mutuamente ortogonales y poseen propiedades de concentración espectral deseables (ver la sección sobre secuencias de Slepian). En la práctica, a menudo se utiliza un promedio ponderado para compensar el aumento de la pérdida de energía en conicidades de orden superior. ^[2]

El método

Considere un proceso estocástico estacionario de media cero p-dimensional

${\displaystyle \mathbf {X} (t)={\lbrack X(1,t),X(2,t),\dots ,X(p,t)\rbrack }^{T}}$

Aquí T denota la transposición de la matriz. En neurofisiología, por ejemplo, p se refiere al número total de canales y, por tanto, puede representar la medición simultánea de la actividad eléctrica de esos p canales. Sea el intervalo de muestreo entre observaciones , de modo que la frecuencia de Nyquist sea .${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle f_{N}=1/(2\Delta t)}$

El estimador espectral de múltiples conicidades utiliza varias conicidades de datos diferentes que son ortogonales entre sí. El estimador espectral cruzada multitaper entre el canal l y m es la media de K estimadores espectrales transversales directas entre el mismo par de canales ( l y m ) y por lo tanto toma la forma

${\displaystyle {\hat {S}}^{lm}(f)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}}_{k}^{lm}(f).}$

Aquí, (para ) es el k ^ésimo estimador espectral transversal directa entre el canal de l y m y está dada por${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$${\displaystyle 0\leq k\leq K}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },}$

donde

${\displaystyle J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t}.}$

Las tres secuencias principales de Slepian para T = 1000 y 2WT = 6. Tenga en cuenta que cada secuencia de orden superior tiene un cruce por cero adicional.

Las secuencias de Slepian

La secuencia es la conicidad de datos para el k- ^ésimo estimador espectral cruzado directo y se elige de la siguiente manera:${\displaystyle \lbrace h_{t,k}\rbrace }$${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$

Elegimos un conjunto de conicidades de datos ortogonales K de modo que cada uno proporcione una buena protección contra fugas. Éstos están dados por las secuencias de Slepian, ^[3] después de David Slepian (también conocido en la literatura como secuencias esferoidales prolate discretas o DPSS para abreviar) con parámetro W y órdenes k  = 0 a K  - 1. El orden máximo K se elige para menos que el número de Shannon . La cantidad 2 W define el ancho de banda de resolución para el problema de concentración espectral y . Cuando l  =  m${\displaystyle 2NW\Delta t}$${\displaystyle W\in (0,f_{N})}$, obtenemos el estimador multitaper para el autoespectro del l- ^ésimo canal. En los últimos años, se propuso un diccionario basado en DPSS modulado como una alternativa demasiado completa a DPSS. ^[4]

Ver también función de ventana: DPSS o ventana de Slepian

Aplicaciones del método multitaper

Esta técnica se utiliza actualmente en el conjunto de herramientas de análisis espectral de Chronux . Aquí se puede encontrar un tratamiento extenso sobre la aplicación de este método para analizar datos de múltiples ensayos y canales generados en experimentos de neurociencia , ingeniería biomédica y otros . Sin limitarse a series de tiempo, el método multitaper puede reformularse para la estimación espectral en la esfera utilizando funciones de Slepian construidas a partir de armónicos esféricos ^[5] para aplicaciones en geofísica y cosmología ^{[6] [7]} entre otras.

Ver también

• Periodograma

Referencias

1. Thomson, DJ (1982) "Estimación de espectro y análisis armónico". Actas del IEEE , 70, 1055–1096
2. Percival, DB y AT Walden. Análisis espectral para aplicaciones físicas: técnicas univariadas convencionales y multicapa . Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
3. Slepian, D. (1978) "Funciones de onda esferoidales proladas, análisis de Fourier e incertidumbre - V: el caso discreto". Revista técnica de Bell System , 57, 1371-1430
4. E. Sejdić, M. Luccini, S. Primak, K. Baddour, T. Willink, "Estimación de canal mediante marcos basados ​​en secuencias esferoidales prolate discretas moduladas", en Proc. de la Conferencia Internacional IEEE sobre Acústica, Habla y Procesamiento de Señales (ICASSP 2008) , Las Vegas, Nevada, EE. UU., 31 de marzo al 4 de abril de 2008, págs. 2849-2852.
5. Simons, FJ; Dahlen, FA; Wieczorek, MA (2006). "Concentración espacioespectral en una esfera". Revisión SIAM . 48 (3): 504–536. arXiv : matemáticas / 0408424 . Código bibliográfico : 2006SIAMR..48..504S . doi : 10.1137 / S0036144504445765 .
6. Wieczorek, MA; Simons, FJ (2007). "Estimación espectral multicapa de varianza mínima en la esfera". Revista de análisis y aplicaciones de Fourier . 13 (6): 665. arXiv : 1306.3254 . doi : 10.1007 / s00041-006-6904-1 .
7. Dahlen, FA; Simons, FJ (2008). "Estimación espectral en una esfera en geofísica y cosmología". Revista Geofísica Internacional . 174 (3): 774. arXiv : 0705.3083 . Código Bibliográfico : 2008GeoJI.174..774D . doi : 10.1111 / j.1365-246X.2008.03854.x .

• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 13.4.3. Métodos multitaper y funciones de Slepian" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

enlaces externos

• [1] Bibliotecas C ++ / Octave para el método multitaper, incluida la ponderación adaptativa (alojada en GitHub)
• [2] Documentación sobre el método multitaper de la implementación de SSA-MTM Toolkit
• [3] Biblioteca Fortran 90 con aplicaciones multivariables adicionales
• [4] Módulo de Python
• [5] Paquete multitaper R (lenguaje de programación)
• [6] Script S-Plus para generar secuencias de Slepian (dpss)