En geometría simpléctica , los invariantes espectrales son invariantes definidos para el grupo de difeomorfismos hamiltonianos de una variedad simpléctica , que está relacionada con la teoría de Floer y la geometría de Hofer.
Conjetura de Arnold y homología de Hamiltonian Floer
Si ( M , ω ) es una variedad simpléctica, entonces un campo vectorial suave Y en M es un campo vectorial hamiltoniano si la contracción ω ( Y , ·) es una forma 1 exacta (es decir, el diferencial de una función hamiltoniana H ) . Un difeomorfismo hamiltoniano de una variedad simpléctica ( M , ω ) es un difeomorfismo Φ de M que es la integral de una trayectoria suave de campos vectoriales hamiltonianos Y t . Vladimir Arnold conjeturó que el número de puntos fijos de un difeomorfismo hamiltoniano genérico de una variedad simpléctica compacta ( M , ω ) debería estar acotado desde abajo por alguna constante topológica de M , que es análoga a la desigualdad de Morse. Esta supuesta conjetura de Arnold desencadenó la invención de la homología hamiltoniana de Floer por Andreas Floer en la década de 1980.
La definición de Floer adoptó el punto de vista de Witten sobre la teoría Morse. Consideró espacios de bucles contractibles de M y definió una acción funcional A H asociada a la familia de funciones hamiltonianas, de modo que los puntos fijos del difeomorfismo hamiltoniano corresponden a los puntos críticos de la acción funcional. La construcción de una cadena compleja similar a la Morse-Smale-Witten complejo en teoría Morse, Floer logró definir un grupo de homología, que también mostró ser isomorfo a los ordinarios grupos de homología del colector M .
El isomorfismo entre el grupo de homología de Floer HF ( M ) y los grupos de homología ordinarios H ( M ) es canónico. Por lo tanto, para cualquier camino hamiltoniano "bueno" H t , una clase de homología α de M puede representarse mediante un ciclo en el complejo de la cadena de Floer, formalmente una combinación lineal
donde a i son coeficientes en algún anillo y x i son puntos fijos del correspondiente difeomorfismo hamiltoniano. Formalmente, los invariantes espectrales se pueden definir por el valor mínimo-máximo
Aquí se toma el máximo sobre todos los valores de la acción funcional A H sobre los puntos fijos aparecidos en la combinación lineal de α H , y el mínimo se toma sobre todos los ciclos de Floer que representan la clase α.