Homología (matemáticas)
En matemáticas , la homología [1] es una forma general de asociar una secuencia de objetos algebraicos, como grupos o módulos abelianos , con otros objetos matemáticos como espacios topológicos . Los grupos de homología se definieron originalmente en topología algebraica . Hay construcciones similares disponibles en una amplia variedad de otros contextos, como álgebra abstracta , grupos , álgebras de Lie , teoría de Galois y geometría algebraica .
La motivación original para definir grupos de homología fue la observación de que se pueden distinguir dos formas examinando sus agujeros. Por ejemplo, un círculo no es un disco porque el círculo tiene un agujero a través de él mientras que el disco es sólido, y la esfera ordinaria no es un círculo porque la esfera encierra un agujero bidimensional mientras que el círculo encierra un agujero unidimensional. Sin embargo, debido a que un agujero "no está allí", no es inmediatamente obvio cómo definir un agujero o cómo distinguir diferentes tipos de agujeros. La homología fue originalmente un método matemático riguroso para definir y categorizar huecos en una variedad . Hablando libremente, un ciclo es un submúltiplo cerrado, un límite es un ciclo que también es el límite de un submúltiplo y unla clase de homología (que representa un agujero) es una clase de equivalencia de ciclos módulo límites. Por tanto, una clase de homología está representada por un ciclo que no es el límite de ninguna subvariedad: el ciclo representa un agujero, es decir, una variedad hipotética cuyo límite sería ese ciclo, pero que "no está allí".
Hay muchas teorías de homología diferentes. Un tipo particular de objeto matemático, como un espacio topológico o un grupo , puede tener una o más teorías de homología asociadas. Cuando el objeto subyacente tiene una interpretación geométrica como la tienen los espacios topológicos, el n -ésimo grupo de homología representa el comportamiento en la dimensión n . La mayoría de los grupos o módulos de homología se pueden formular como functores derivados en categorías abelianas apropiadas , midiendo el fallo de un funtor para ser exacto . Desde esta perspectiva abstracta, los grupos de homología están determinados por objetos de una categoría derivada .
Se puede decir que la teoría de la homología comienza con la fórmula del poliedro de Euler, o característica de Euler . [2] Esto fue seguido por la definición de Riemann de género e invariantes numéricos de conectividad n -pliegues en 1857 y la prueba de Betti en 1871 de la independencia de los "números de homología" de la elección de la base. [3]
La homología en sí se desarrolló como una forma de analizar y clasificar variedades según sus ciclos : bucles cerrados (o más generalmente subvariedades) que pueden dibujarse en una variedad n dimensional dada pero no deformarse continuamente entre sí. [4] Estos ciclos también se consideran a veces como cortes que se pueden pegar nuevamente, o como cremalleras que se pueden abrochar y desabrochar. Los ciclos se clasifican por dimensión. Por ejemplo, una línea dibujada en una superficie representa un ciclo, un circuito cerrado o (1 colector), mientras que una superficie cortada a través de un colector tridimensional es un 2 ciclos.
En la esfera ordinaria , el ciclo b en el diagrama se puede contraer al polo, e incluso el gran círculo ecuatorial a se puede contraer de la misma manera. El teorema de la curva de Jordan muestra que cualquier ciclo arbitrario como c puede reducirse de manera similar a un punto. Por tanto, todos los ciclos de la esfera pueden transformarse continuamente entre sí y pertenecen a la misma clase de homología. Se dice que son homólogos a cero. Cortar un colector a lo largo de un ciclo homólogo a cero separa el colector en dos o más componentes. Por ejemplo, cortar la esfera a lo largo de a produce dos hemisferios.
