La transformada de Fourier de una función del tiempo, s (t), es una función de frecuencia de valor complejo, S (f), a menudo denominada espectro de frecuencia . Cualquier operación lineal invariante en el tiempo en s (t) produce un nuevo espectro de la forma H (f) • S (f), que cambia las magnitudes relativas y / o ángulos ( fase ) de los valores distintos de cero de S (f ). Cualquier otro tipo de operación crea nuevos componentes de frecuencia que pueden denominarse fuga espectral en el sentido más amplio. El muestreo , por ejemplo, produce fugas, que llamamos alias del componente espectral original. Para propósitos de la transformada de Fourier , muestreose modela como un producto entre s (t) y una función de peine de Dirac . El espectro de un producto es la convolución entre S (f) y otra función, que inevitablemente crea los nuevos componentes de frecuencia. Pero el término "fuga" generalmente se refiere al efecto de la ventana , que es el producto de s (t) con un tipo diferente de función, la función de ventana . Las funciones de ventana tienen una duración finita, pero eso no es necesario para crear fugas. La multiplicación por una función variable en el tiempo es suficiente.
La fuga causada por una función de ventana se caracteriza más fácilmente por su efecto sobre una función s (t) sinusoidal, cuya transformada de Fourier sin ventana es cero para todas menos una frecuencia. La frecuencia habitual de elección es 0 Hz, porque la transformada de Fourier en ventana es simplemente la transformada de Fourier de la función de ventana en sí :
Funciones de tiempo discreto
Cuando se aplican tanto el muestreo como el uso de ventanas a s (t), en cualquier orden, la fuga causada por el uso de ventanas es una dispersión relativamente localizada de los componentes de frecuencia, con un efecto de desenfoque a menudo, mientras que el alias causado por el muestreo es una repetición periódica de todo el espectro borroso.
Compensaciones de ventana
La fuga total de una función de ventana se mide mediante una métrica denominada ancho de banda de ruido equivalente (ENBW) [1] o ancho de banda de ruido equivalente (NEB). La mejor ventana en ese sentido es la más simple, llamada rectangular debido a su parte superior plana y lados verticales. Su efecto de propagación ocurre principalmente en un factor de 10 a 100 por debajo de la amplitud del componente original. Desafortunadamente, la dispersión es muy amplia, lo que puede enmascarar detalles importantes del espectro en niveles aún más bajos. Eso evita que la ventana rectangular sea una opción popular. Las funciones de ventana no rectangular en realidad aumentan la fuga total, pero también pueden redistribuirla a los lugares donde causa menos daño, según la aplicación. Específicamente, en diferentes grados reducen el nivel de esparcimiento aumentando la fuga de alto nivel en las proximidades del componente original. En general, controlan el equilibrio entre resolver señales de fuerza comparable con frecuencias similares o resolver señales de fuerza dispares con frecuencias diferentes: se habla de ventanas de "alta resolución" versus "alto rango dinámico". La fuga cerca del componente original es realmente beneficiosa para una métrica conocida como pérdida de festón .
Habitualmente pensamos en la fuga como una extensión de (digamos) una sinusoide en un "contenedor" de una DFT a los otros contenedores a niveles que generalmente disminuyen con la distancia. Lo que eso significa en realidad es que cuando la frecuencia sinusoidal real se encuentra en el contenedor "k", su presencia se detecta / registra en diferentes niveles en los otros contenedores; es decir, las correlaciones que miden son distintas de cero. El valor medido en el intervalo k + 10 y trazado en el gráfico de espectro es la respuesta de esa medición a la sinusoide imperfecta (es decir, con ventana) a 10 intervalos de distancia. Y cuando la entrada es solo ruido blanco (energía en todas las frecuencias), el valor medido en el bin k es la suma de sus respuestas a un continuo de frecuencias. Se podría decir que una fuga es en realidad una fuga en proceso, en lugar de una fuga. Esa perspectiva podría ayudar a interpretar los diferentes niveles de ruido de fondo entre los dos gráficos de la figura de la derecha. Ambos espectros se hicieron a partir del mismo conjunto de datos con la misma potencia de ruido. Pero los contenedores en el gráfico inferior respondieron cada uno con más fuerza que los contenedores en el gráfico superior. La cantidad exacta de la diferencia viene dada por la diferencia ENBW de las dos funciones de ventana.
Ver también
- § Ventanas
- § Muestreo de DTFT
- Efecto de filo de cuchillo , análogo espacial del truncamiento
- Fenómeno de Gibbs
Citas
- ^ Harris, Fredric j. (Enero de 1978). "Sobre el uso de Windows para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi : 10.1109 / PROC.1978.10837 . Artículo sobre ventanas FFT que presentó muchas de las métricas clave utilizadas para comparar ventanas.