Casquete esférico

Section of a sphere

Un ejemplo de casquete esférico en azul (y otro en rojo).

Modelo 3D de un casquete esférico.

En geometría , un casquete esférico o cúpula esférica es una porción de una esfera o de una bola cortada por un plano . También es un segmento esférico de una base, es decir, delimitado por un solo plano. Si el plano pasa por el centro de la esfera, de modo que la altura del casquete es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se llama hemisferio .

Volumen y superficie

El volumen del casquete esférico y el área de la superficie curva se pueden calcular usando combinaciones de

• El radio de la esfera${\displaystyle r}$
• El radio de la base de la gorra.${\displaystyle a}$
• La altura de la gorra${\displaystyle h}$
• El ángulo polar entre los rayos desde el centro de la esfera hasta el vértice del casquete (el polo) y el borde del disco que forma la base del casquete.${\displaystyle \theta }$

	Usando y${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$	Usando y${\displaystyle a}$${\displaystyle h}$	Usando y${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$
Volumen	${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$ [1]	${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}$
Área	${\displaystyle A=2\pi rh}$[1]	${\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$

Si denota la latitud en coordenadas geográficas , entonces .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}$

La relación entre y es relevante siempre que . Por ejemplo, la sección roja de la ilustración también es un casquete esférico para el cual .${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0\leq h\leq 2r}$${\displaystyle h>r}$

Las fórmulas que usan y se pueden reescribir para usar el radio de la base de la tapa en lugar de usar el teorema de Pitágoras :${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}$

así que eso

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}$

Sustituyendo esto en las fórmulas da:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}$

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}$

Derivando el área de la superficie intuitivamente del volumen del sector esférico

Tenga en cuenta que, aparte del argumento basado en el cálculo a continuación, el área del casquete esférico puede derivarse del volumen del sector esférico , mediante un argumento intuitivo, ^[2] como${\displaystyle V_{sec}}$

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

El argumento intuitivo se basa en sumar el volumen total del sector a partir del de las pirámides triangulares infinitesimales . Utilizando la fórmula de volumen de la pirámide (o cono) de , donde es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y es la altura de cada pirámide desde su base hasta su vértice (en el centro de la esfera) . Dado que cada uno , en el límite, es constante y equivalente al radio de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimales sería igual al área del sector esférico, y: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h'}$${\displaystyle h'}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

Derivar el volumen y el área de la superficie mediante cálculo

Al rotar el área verde se crea un casquete esférico con altura y radio de esfera .${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$

Las fórmulas de volumen y área pueden derivarse examinando la rotación de la función

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

para , utilizando las fórmulas, la superficie de la rotación para el área y el sólido de la revolución para el volumen. El area es${\displaystyle x\in [0,h]}$

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

La derivada de es${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

Por tanto, la fórmula para el área es

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

El volumen es

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

Aplicaciones

Volúmenes de unión e intersección de dos esferas que se cruzan

El volumen de la unión de dos esferas de radios que se cruzan y es ^[3]${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

dónde

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

la suma de los volúmenes de los dos casquetes esféricos que forman su intersección. Si es la distancia entre los dos centros de esfera, eliminación de las variables y conduce a ^{[4] [5]}${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

Volumen de un casquete esférico con base curva

El volumen de un casquete esférico con base curva se puede calcular considerando dos esferas con radios y , separadas por cierta distancia , y cuyas superficies se cruzan en . Es decir, la curvatura de la base proviene de la esfera 2. El volumen es, por tanto, la diferencia entre la tapa de la esfera 2 (con altura ) y la tapa de la esfera 1 (con altura ),${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x=h}$${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

Esta fórmula es válida solo para configuraciones que satisfacen y . Si la esfera 2 es muy grande de modo que , por lo tanto, y , que es el caso de un casquete esférico con una base que tiene una curvatura insignificante, la ecuación anterior es igual al volumen de un casquete esférico con una base plana, como se esperaba.${\displaystyle 0<d<r_{2}}$${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$${\displaystyle d\gg h}$${\displaystyle r_{2}\approx d}$

Áreas de esferas que se cruzan

Considere dos esferas de radios y que se cruzan , con sus centros separados por la distancia . Se cruzan si${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

Según la ley de los cosenos, el ángulo polar del casquete esférico en la esfera de radio es${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

Usando esto, el área de la superficie del casquete esférico en la esfera de radio es${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

Superficie delimitada por discos paralelos

El área de la superficie curva del segmento esférico delimitado por dos discos paralelos es la diferencia de las áreas de la superficie de sus respectivos casquetes esféricos. Para una esfera de radio y tapas con alturas y , el área es${\displaystyle r}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

o, utilizando coordenadas geográficas con latitudes y , ^[6]${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de 6371 km de radio, la superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, en una latitud de 66,56 ° en agosto de 2016 ^[7] ) es 2 π · 6371 ² | sin 90 ° - sin 66,56 ° | = 21,04 millones de km ² , o 0,5 · | sin 90 ° - sin 66,56 ° | = 4,125% de la superficie total de la Tierra.

Esta fórmula también se puede utilizar para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30 ° Sur y 30 ° Norte en una zona esférica que abarca todos los Trópicos .

Generalizaciones

Secciones de otros sólidos

La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de modo que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (con un eje de rotación), y de la misma forma la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide .

Gorra hiperesférica

Generalmente, el volumen -dimensional de un casquete hiperesférico de altura y radio en el espacio euclidiano -dimensional está dado por: ^{[ cita requerida ]} donde (la función gamma ) está dada por .${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

La fórmula para se puede expresar en términos del volumen de la unidad n-ball y la función hipergeométrica o la función beta incompleta regularizada como${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$,

y la fórmula del área se puede expresar en términos del área de la unidad n-ball como${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

donde .${\displaystyle 0\leq h\leq r}$

Anteriormente en ^[8] (1986, USSR Academ. Press) se obtuvieron las siguientes fórmulas:, donde ,${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)}$${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$.

Por extraño ${\displaystyle n=2k+1:}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$.

Asintótica

En ^[9] se muestra que, si y , entonces donde es la integral de la distribución normal estándar .${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}$${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$${\displaystyle F()}$

Un límite más cuantitativo es . Para mayúsculas grandes (es decir, como ), el límite se simplifica a .^[10]${\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}$${\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}$

Ver también

• Segmento circular : el objeto 2D análogo
• Ángulo sólido : contiene la fórmula para los límites de n-esferas
• Segmento esférico
• Sector esférico
• Cuña esférica

Referencias

1. Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), Manual de matemáticas para ingenieros y científicos , CRC Press, p. 69, ISBN 9781584885023.
2. Shekhtman, Zor. "Unizor - Geometry3D - Sectores esféricos" . YouTube . Zor Shekhtman . Consultado el 31 de diciembre de 2018 .
3. Connolly, Michael L. (1985). "Cálculo de volumen molecular". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 107 (5): 1118–1124. doi : 10.1021 / ja00291a006 .
4. Pavani, R .; Ranghino, G. (1982). "Un método para calcular el volumen de una molécula". Computadoras y Química . 6 (3): 133-135. doi : 10.1016 / 0097-8485 (82) 80006-5 .
5. Bondi, A. (1964). "Volúmenes y radios de Van der Waals". La Revista de Química Física . 68 (3): 441–451. doi : 10.1021 / j100785a001 .
6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel (2001). Desarrollo de software exitoso . ISBN 9780130868268. Consultado el 29 de agosto de 2016 .
7. "Oblicuidad de la eclíptica (media de Eps)" . Neoprogrammics.com . Consultado el 13 de mayo de 2014 .
8. Chudnov, Alexander M. (1986). "Sobre algoritmos de generación y recepción de señales minimax (rus.)" . Problemas de transmisión de información . 22 (4): 49–54.
9. Chudnov, Alexander M (1991). "Problemas teóricos de juego de síntesis de algoritmos de generación y recepción de señales (rus.)" . Problemas de transmisión de información . 27 (3): 57–65.
10. Anja Becker, Léo Ducas, Nicolas Gama y Thijs Laarhoven. 2016. Nuevas direcciones en la búsqueda de vecinos más cercanos con aplicaciones para tamizado en celosía. En Actas del vigésimo séptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos (SODA '16), Robert Kraughgamer (Ed.). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia, PA, EE. UU., 10-24.

Lectura adicional

• Richmond, Timothy J. (1984). "Superficie accesible al disolvente y volumen excluido en proteínas: ecuación analítica para esferas superpuestas e implicaciones para el efecto hidrofóbico". Revista de Biología Molecular . 178 (1): 63–89. doi : 10.1016 / 0022-2836 (84) 90231-6 . PMID  6548264 .
• Lustig, Rolf (1986). "Geometría de cuatro esferas fusionadas en una configuración espacial arbitraria". Física molecular . 59 (2): 195–207. Código Bibliográfico : 1986MolPh..59..195L . doi : 10.1080 / 00268978600102011 .
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Volumen de la intersección de tres esferas de tamaño desigual: una fórmula simplificada". La Revista de Química Física . 91 (15): 4121–4122. doi : 10.1021 / j100299a035 .
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Cálculo exacto del volumen y área de superficie de moléculas de esfera dura fusionadas con radios atómicos desiguales". Física molecular . 62 (5): 1247–1265. Código Bibliográfico : 1987MolPh..62.1247G . doi : 10.1080 / 00268978700102951 .
• Petitjean, Michel (1994). "Sobre el cálculo analítico de superficies y volúmenes de van der Waals: algunos aspectos numéricos". Revista de Química Computacional . 15 (5): 507–523. doi : 10.1002 / jcc.540150504 .
• Grant, JA; Camioneta, BT (1995). "Una descripción gaussiana de la forma molecular". La Revista de Química Física . 99 (11): 3503–3510. doi : 10.1021 / j100011a016 .
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: Un paquete de fortran para calcular el área de superficie accesible al solvente y el volumen excluido de esferas superpuestas a través de ecuaciones analíticas". Comunicaciones de Física Informática . 165 (1): 59–96. Código Bibliográfico : 2005CoPhC.165 ... 59B . doi : 10.1016 / j.cpc.2004.08.002 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Casquillos esféricos .

• Weisstein, Eric W. "Casquillo esférico" . MathWorld . Derivación y algunas fórmulas adicionales.
• Calculadora en línea para volumen y área de casquete esférico .
• Summary of spherical formulas.