En física , un péndulo esférico es un análogo dimensional superior al péndulo . Consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad .
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Péndulo esférico: ángulos y velocidades.
Debido a la geometría esférica del problema, se utilizan coordenadas esféricas para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ), donde r es fijo, r = l .
De forma rutinaria, para anotar la cinética
y potencial
partes del Lagrangiano
en coordenadas generalizadas arbitrarias, la posición de la masa se expresa a lo largo de ejes cartesianos. Aquí, siguiendo las convenciones mostradas en el diagrama,
![{\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
A continuación, se toman las derivadas en el tiempo de estas coordenadas, para obtener velocidades a lo largo de los ejes.
![{\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Por lo tanto,
![{\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El lagrangiano, sin partes constantes, es [1]
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La ecuación de Euler-Lagrange que involucra el ángulo polar
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
da
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuándo
la ecuación se reduce a la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo de gravedad simple .
De manera similar, la ecuación de Euler-Lagrange que involucra el acimut
,
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
da
.
La última ecuación muestra ese momento angular alrededor del eje vertical,
se conserva. El factor
jugará un papel en la formulación hamiltoniana a continuación.
La ecuación diferencial de segundo orden que determina la evolución de
es así
.
El azimut
, al estar ausente del Lagrangiano, es una coordenada cíclica , lo que implica que su momento conjugado es una constante de movimiento .
El péndulo cónico se refiere a las soluciones especiales donde
y
es una constante que no depende del tiempo.
El hamiltoniano es
![H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde los momentos conjugados son
![{\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
.
En términos de coordenadas y momentos se lee
Las ecuaciones de Hamilton darán la evolución temporal de coordenadas y momentos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden.
![{\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Impulso
es una constante de movimiento. Eso es una consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical.
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Trayectoria de un péndulo esférico.
La trayectoria de la masa en la esfera se puede obtener a partir de la expresión de la energía total
![{\displaystyle E=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
observando que la componente vertical del momento angular
es una constante de movimiento, independiente del tiempo. [1]
Por eso
![{\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que conduce a una integral elíptica del primer tipo [1] para
![{\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y una integral elíptica del tercer tipo para
.
El ángulo
se encuentra entre dos círculos de latitud, [1] donde
.