Álgebra de mentira dividida

En el campo matemático de la teoría de Lie , un álgebra de Lie dividida es un par donde es un álgebra de Lie y es una subálgebra de Cartan dividida , donde "dividir" significa que para todo , es triangularizable . Si un álgebra de Lie admite una división, se llama álgebra de Lie divisible . ^[1] Tenga en cuenta que para las álgebras de Lie reductivas, se requiere que la subálgebra de Cartan contenga el centro. $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}$ $x\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x$

Sobre un campo algebraicamente cerrado como los números complejos , todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles (de hecho, la subálgebra de Cartan no solo actúa mediante matrices triangularizables, sino que, aún más fuerte, actúa mediante matrices diagonalizables) y todas las divisiones son conjugadas; por lo tanto, las álgebras de Lie divididas son de mayor interés para campos no algebraicamente cerrados.

Las álgebras de Lie divididas son interesantes porque formalizan la forma real dividida de un álgebra de Lie compleja y porque las álgebras de Lie semisimples divididas (más generalmente, álgebras de Lie reductivas divididas) sobre cualquier campo comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados: teniendo esencialmente la misma teoría de representación, por ejemplo: la subálgebra de Cartan dividida desempeña el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre campos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en ( Bourbaki 2005 ), por ejemplo.

Cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene un álgebra de Lie real dividida única (hasta el isomorfismo), que también es semisimple, y es simple si y solo si el álgebra de Lie compleja lo es. ^[5]

Para álgebras de Lie semisimples reales, las álgebras de Lie divididas son opuestas a las álgebras de Lie compactas : el grupo de Lie correspondiente está "lo más lejos posible" de ser compacto.

Tenga en cuenta que para y , la forma real son los puntos reales de (el álgebra de Lie de) el mismo grupo algebraico , mientras que para uno debe usar las formas divididas (de índice máximo indefinido), ya que el grupo SO es compacto. ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {sp}}$ ${\mathfrak {so}}$