En el campo matemático de la teoría de Lie , hay dos definiciones de un álgebra de Lie compacta . Extrínseca y topológicamente, un álgebra de Lie compacta es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto ; [1] esta definición incluye tori. Intrínseca y algebraicamente, un álgebra de Lie compacta es un álgebra de Lie real cuya forma Killing es definida negativa ; esta definición es más restrictiva y excluye tori. [2] Un álgebra de Lie compacta puede verse como la forma real más pequeña de un álgebra de Lie compleja correspondiente, es decir, la complexificación.
Definición
Formalmente, se puede definir un álgebra de Lie compacta como el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto o como un álgebra de Lie real cuya forma de Killing es definida negativa. Estas definiciones no concuerdan del todo: [2]
- La forma de matanza en el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto es negativo semi definido , no definida negativa en general.
- Si la forma Killing de un álgebra de Lie es definida negativa, entonces el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie semisimple compacto .
En general, el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto se descompone como la suma directa del álgebra de Lie de un sumando conmutativo (para el cual el subgrupo correspondiente es un toro) y un sumando en el que la forma de Killing es definida negativa.
Es importante notar que el inverso del primer resultado anterior es falso: incluso si la forma Killing de un álgebra de Lie es semidefinita negativa, esto no significa que el álgebra de Lie sea el álgebra de Lie de algún grupo compacto. Por ejemplo, la forma Killing en el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg es idénticamente cero, por lo tanto, semidefinida negativa, pero esta álgebra de Lie no es el álgebra de Lie de ningún grupo compacto.
Propiedades
- Las álgebras de Lie compactas son reductivas ; [3] tenga en cuenta que el resultado análogo es cierto para los grupos compactos en general.
- El álgebra de mentira para el grupo de Lie compacto G admite un anuncio ( G ) -invariant producto interno ,. [4] Por el contrario, si admite un producto interno invariante para anuncios, luego es el álgebra de Lie de algún grupo compacto. [5] Sies semisimple, este producto interno puede tomarse como el negativo de la forma Killing. Así, en relación con este producto interno, Ad ( G ) actúa mediante transformaciones ortogonales () y actúa mediante matrices simétricas sesgadas (). [4] Es posible desarrollar la teoría de las álgebras de Lie semisimples complejas considerándolas como las complejizaciones de las álgebras de Lie de grupos compactos; [6] la existencia de un producto interno invariante de Ad en la forma real compacta simplifica enormemente el desarrollo.
- Esto puede verse como un análogo compacto del teorema de Ado sobre la representabilidad de las álgebras de Lie: así como cada álgebra de Lie de dimensión finita en la característica 0 incrusta en cada álgebra de mentira compacta incrusta en
- El diagrama de Satake de un álgebra de Lie compacta es el diagrama de Dynkin del álgebra de Lie compleja con todos los vértices ennegrecidos.
- Las álgebras de Lie compactas son opuestas a dividir las álgebras de Lie reales entre formas reales , estando las álgebras de Lie divididas "lo más lejos posible" de ser compactas.
Clasificación
Las álgebras de Lie compactas se clasifican y nombran de acuerdo con las formas reales compactas de las álgebras de Lie complejas semisimples . Estos son:
- correspondiente al grupo unitario especial (propiamente, la forma compacta es PSU, el grupo unitario especial proyectivo );
- correspondiente al grupo ortogonal especial (ocorrespondiente al grupo ortogonal );
- correspondiente al grupo simpléctico compacto ; a veces escrito;
- correspondiente al grupo ortogonal especial (ocorrespondiente al grupo ortogonal ) (propiamente, la forma compacta es PSO, el grupo ortogonal especial proyectivo );
- Formas reales compactas de las excepcionales álgebras de Lie
Isomorfismos
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/03/Dynkin_Diagram_Isomorphisms.svg/170px-Dynkin_Diagram_Isomorphisms.svg.png)
La clasificación no es redundante si se toma por por por y por Si en cambio uno toma o se obtienen ciertos isomorfismos excepcionales .
Para es el diagrama trivial, correspondiente al grupo trivial
Para el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de los diagramas y los correspondientes isomorfismos de los grupos de Lie (los cuaterniones de 3 esferas o unidades ).
Para el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de los diagramas y el correspondiente isomorfismo de los grupos de Lie
Para el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de los diagramas y el correspondiente isomorfismo de los grupos de Lie
Si uno considera y como diagramas, estos son isomorfos a y respectivamente, con los correspondientes isomorfismos de las álgebras de Lie.
Ver también
- Forma real
- Álgebra de mentira dividida
Notas
- ^ ( Knapp 2002 , sección 4, págs. 248-251 )
- ↑ a b ( Knapp 2002 , Propositions 4.26, 4.27, pp. 249-250 )
- ^ ( Knapp 2002 , Proposición 4.25, págs.249 )
- ↑ a b ( Knapp 2002 , Proposición 4.24, págs. 249 )
- ^ SpringerLink
- ↑ Hall 2015 Capítulo 7
Referencias
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 0-387-40122-9.
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 (2a ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
enlaces externos
- Grupo de mentiras, compacto , en Encyclopaedia of Mathematics