En matemáticas , la noción de forma real relaciona objetos definidos sobre el campo de los números reales y complejos . Un álgebra de Lie real g 0 se llama una forma real de un álgebra de Lie compleja g si g es la complejización de g 0 :
La noción de forma real también se puede definir para grupos de Lie complejos . Las formas reales de los grupos de Lie complejos semisimples y las álgebras de Lie han sido completamente clasificadas por Élie Cartan .
Usando la correspondencia de Lie entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie , se puede definir la noción de una forma real para los grupos de Lie. En el caso de los grupos algebraicos lineales , las nociones de complejización y forma real tienen una descripción natural en el lenguaje de la geometría algebraica .
Así como las álgebras de Lie semisimples complejas se clasifican mediante diagramas de Dynkin , las formas reales de un álgebra de Lie semisimple se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen a partir del diagrama de Dynkin de la forma compleja etiquetando algunos vértices de negro (llenos) y conectando algunos otros. vértices en pares por flechas, según ciertas reglas.
Es un hecho básico en la teoría de la estructura de álgebras de Lie semisimples complejas que cada álgebra tiene dos formas reales especiales: una es la forma real compacta y corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos) , y el otro es la forma real dividida y corresponde a un grupo de Lie que está lo más lejos posible de ser compacto (su diagrama de Satake no tiene vértices ennegrecidos ni flechas). En el caso del grupo lineal especial complejo SL ( n , C ), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU ( n) y la forma real dividida es el grupo lineal especial real SL ( n , R ). La clasificación de formas reales de álgebras de Lie semisimples fue realizada por Élie Cartan en el contexto de los espacios simétricos de Riemann . En general, puede haber más de dos formas reales.
Suponga que g 0 es un álgebra de Lie semisimple sobre el campo de los números reales. Según el criterio de Cartan , la forma Killing no es degenerada y se puede diagonalizar de forma adecuada con las entradas diagonales +1 o −1. Por la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas, o el índice de inercia positivo, es un invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizadora. Este es un número entre 0 y la dimensión de g que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamado su índice .