El radio de estabilidad de un objeto (sistema, función, matriz, parámetro) en un punto nominal dado es el radio de la bola más grande , centrada en el punto nominal, cuyos elementos satisfacen condiciones de estabilidad predeterminadas. La imagen de esta noción intuitiva es la siguiente:
dónde denota el punto nominal, denota el espacio de todos los valores posibles del objeto , y el área sombreada, , representa el conjunto de puntos que satisfacen las condiciones de estabilidad. El radio del círculo azul, que se muestra en rojo, es el radio de estabilidad.
Definición abstracta
La definición formal de este concepto varía, dependiendo del área de aplicación. La siguiente definición abstracta es bastante útil [1] [2]
dónde denota una bola cerrada de radio en centrado en .
Historia
Parece que el concepto se inventó a principios de la década de 1960. [3] [4] En la década de 1980 se hizo popular en la teoría del control [5] y la optimización. [6] Es ampliamente utilizado como modelo de robustez local frente a pequeñas perturbaciones en un valor nominal dado del objeto de interés.
Relación con el modelo maximin de Wald
Se demostró [2] que el modelo de radio de estabilidad es un ejemplo del modelo maximin de Wald . Es decir,
dónde
La gran pena () es un dispositivo para forzar la jugador a no perturbar el valor nominal más allá del radio de estabilidad del sistema. Es una indicación de que el modelo de estabilidad es un modelo de estabilidad / robustez local, más que global.
Teoría de la decisión de la brecha de información
La teoría de la decisión de la brecha de información es una teoría reciente de la decisión no probabilística. Se afirma que es radicalmente diferente de todas las teorías actuales de decisión bajo incertidumbre. Pero se ha demostrado [2] que su modelo de robustez, a saber
es en realidad un modelo de radio de estabilidad caracterizado por un simple requisito de estabilidad de la forma dónde denota la decisión bajo consideración, denota el parámetro de interés, denota la estimación del valor real de y denota una bola de radio centrado en .
Dado que los modelos de radio de estabilidad están diseñados para hacer frente a pequeñas perturbaciones en el valor nominal de un parámetro, el modelo de robustez de info-gap mide la robustez local de decisiones en el entorno de la estimación..
Sniedovich [2] sostiene que por esta razón la teoría no es adecuada para el tratamiento de una incertidumbre severa caracterizada por una estimación pobre y un amplio espacio de incertidumbre.
Definición alternativa
Hay casos en los que es más conveniente definir el radio de estabilidad de forma ligeramente diferente. Por ejemplo, en muchas aplicaciones de la teoría de control, el radio de estabilidad se define como el tamaño de la perturbación desestabilizadora más pequeña en el valor nominal del parámetro de interés. [7] La imagen es la siguiente:
Más formalmente,
dónde denota la distancia de de .
Radio de estabilidad de funciones
El radio de estabilidad de una función continua f (en un espacio funcional F ) con respecto a un dominio de estabilidad abierto D es la distancia entre f y el conjunto de funciones inestables (con respecto a D ). Se dice que una función es estable con respecto a D si su espectro está en D . Aquí, la noción de espectro se define caso por caso, como se explica a continuación.
Definición
Formalmente, si denotamos el conjunto de funciones estables por S (D) y el radio de estabilidad por r (f, D) , entonces:
donde C es un subconjunto de F .
Tenga en cuenta que si f ya es inestable (con respecto a D ), entonces r (f, D) = 0 (siempre que C contenga cero).
Aplicaciones
La noción de radio de estabilidad se aplica generalmente a funciones especiales como polinomios (el espectro son las raíces) y matrices (el espectro son los valores propios ). El caso en el que C es un subconjunto adecuado de F nos permite considerar perturbaciones estructuradas (por ejemplo, para una matriz, solo podríamos necesitar perturbaciones en la última fila). Es una medida interesante de robustez, por ejemplo, en la teoría de control .
Propiedades
Sea f un polinomio ( complejo ) de grado n , C = F el conjunto de polinomios de grado menor (o igual a) n (que aquí identificamos con el conjuntode coeficientes). Tomamos para D el disco unitario abierto , lo que significa que estamos buscando la distancia entre un polinomio y el conjunto de polinomios estables de Schur . Luego:
donde q contiene cada vector base (p. ej.cuando q es la base de potencia habitual). Este resultado significa que el radio de estabilidad está vinculado con el valor mínimo que alcanza f en el círculo unitario.
Ejemplos de
- El polinomio (cuyos ceros son las octavas raíces de 0.9 ) tiene un radio de estabilidad de 1/80 si q es la base de potencia y la norma es la norma infinita. Entonces debe existir un polinomio g con (infinito) norma 1/90 tal que f + g tenga (al menos) una raíz en el círculo unitario. Tal g es por ejemplo. De hecho, (f + g) (1) = 0 y 1 está en el círculo unitario, lo que significa que f + g es inestable.
Ver también
Referencias
- ^ Zlobec S. (2009). Optimización indiferenciable: Programación paramétrica. Páginas. 2607-2615, en Enciclopedia de optimización, Floudas CA y Pardalos, editores de PM, Springer.
- ↑ a b c d Sniedovich, M. (2010). Una visión general de la teoría de la decisión sobre la brecha de información. Revista de Financiamiento de Riesgos, 11 (3), 268-283.
- ↑ Wilf, HS (1960). Integración numérica máximamente estable. Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 8 (3), 537-540.
- ^ Milne, WE y Reynolds, RR (1962). Métodos de quinto orden para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Revista de la ACM, 9 (1), 64-70.
- ^ Hindrichsen, D. y Pritchard, AJ (1986). Radios de estabilidad de sistemas lineales, Sistemas y letras de control, 7, 1-10.
- ^ Zlobec S. (1988). Caracterización de la Optimidad en Modelos de Programación Matemática. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113-180.
- ^ Paice ADB y Wirth, FR (1998). Análisis de la Robustez Local de Estabilidad de Caudales. Matemáticas de control, señales y sistemas , 11, 289-302.