La teoría de decisiones de info-gap busca optimizar la robustez ante fallas bajo incertidumbre severa , [1] [2] en particular aplicando análisis de sensibilidad del tipo de radio de estabilidad [3] a perturbaciones en el valor de una estimación dada del parámetro de interés. Tiene algunas conexiones con el modelo maximin de Wald ; algunos autores los distinguen, otros los consideran instancias del mismo principio.
Ha sido desarrollado por Yakov Ben-Haim , [4] y ha encontrado muchas aplicaciones y se ha descrito como una teoría para la toma de decisiones bajo " incertidumbre severa ". Se ha criticado como inadecuado para este propósito y se han propuesto alternativas , incluidos enfoques clásicos como la optimización robusta .
Resumen
Info-gap es una teoría: ayuda a tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Para ello, utiliza modelos, cada uno construido sobre el anterior. Se comienza con un modelo para la situación, donde se desconocen algunos parámetros . Luego se toma una estimación del parámetro y se analiza qué tan sensibles son los resultados del modelo al error en esta estimación.
- Modelo de incertidumbre
- A partir de la estimación, un modelo de incertidumbre mide qué tan lejos están otros valores del parámetro: a medida que aumenta la incertidumbre, aumenta el conjunto de valores.
- Modelo robustez / oportunidad
- Dado un modelo de incertidumbre, entonces, para cada decisión, ¿cuán incierto puede estar y estar seguro de tener éxito? ( robustez ) Además, dada una ganancia inesperada, ¿qué grado de incertidumbre debe tener para que este resultado sea plausible? ( oportunidad )
- Modelo de toma de decisiones
- Se optimiza la robustez sobre la base del modelo. Dado un resultado, ¿qué decisión puede soportar la mayor incertidumbre y dar el resultado? Además, dada una ganancia inesperada, ¿qué decisión requiere la menor incertidumbre para el resultado?
Modelos
La teoría de la brecha de información modela la incertidumbre como subconjuntos alrededor de una estimación puntual : la estimación es precisa y la incertidumbre aumenta, en general sin límite. La incertidumbre mide la " distancia " entre una estimación y una plausibilidad, proporcionando una medida intermedia entre un punto (la estimación puntual ) y todas las plausibilidades, y dando una medida de sensibilidad: ¿cuál es el margen de error ?
El análisis de brechas de información da respuestas a preguntas tales como:
- bajo qué nivel de incertidumbre se pueden asegurar de manera confiable los requisitos específicos (robustez), y
- qué nivel de incertidumbre es necesario para lograr ciertas ganancias inesperadas (oportunidad).
Puede utilizarse para satisfacer , como una alternativa a la optimización en presencia de incertidumbre o racionalidad limitada ; ver optimización robusta para un enfoque alternativo.
Comparación con la teoría clásica de la decisión
A diferencia de la teoría de la decisión probabilística , el análisis de brechas de información no utiliza distribuciones de probabilidad: mide la desviación de los errores (diferencias entre el parámetro y la estimación), pero no la probabilidad de los resultados, en particular, la estimación.no es en ningún sentido más o menos probable que otros puntos, ya que info-gap no usa probabilidad. La brecha de información, al no utilizar distribuciones de probabilidad, es robusta porque no es sensible a los supuestos sobre probabilidades de resultados. Sin embargo, el modelo de incertidumbre incluye una noción de resultados "más cercanos" y "más distantes" y, por lo tanto, incluye algunos supuestos, y no es tan robusto como simplemente considerar todos los resultados posibles, como en minimax. Además, considera un universo fijo por lo que no es resistente a eventos inesperados (no modelados).
La conexión con el análisis minimax ha ocasionado cierta controversia: (Ben-Haim 1999, págs. 271-2) sostiene que el análisis de robustez de info-gap, aunque similar en algunos aspectos, no es un análisis minimax del peor de los casos, ya que no evalúa decisiones sobre todos los resultados posibles, mientras que (Sniedovich, 2007) sostiene que el análisis de robustez puede verse como un ejemplo de maximin (no minimax). Esto se discute en la crítica , a continuación, y se elabora en la perspectiva de la teoría clásica de la decisión .
Ejemplo básico: presupuesto
Como ejemplo simple, considere un trabajador. Esperan ganar $ 20 por semana, mientras que si ganan menos de $ 50 no podrán trabajar y dormirán en la calle; de lo contrario, pueden permitirse una noche de entretenimiento.
Usando el modelo de error absoluto:
dónde se puede decir que la solidez es de $ 15 y la oportunidad es de $ 20: si ganan $ 20, no dormirán a la intemperie ni festejarán, y si ganan entre $ 20 y $ 200. Pero, si se equivocaron por $ 20, pueden dormir a la intemperie, mientras que por más de $ 30, pueden encontrarse cenando en la opulencia.
Como se dijo, este ejemplo es solo descriptivo y no permite la toma de decisiones; en las aplicaciones, se consideran reglas de decisión alternativas y, a menudo, situaciones con una incertidumbre más compleja.
El trabajador está pensando en trasladarse a otro lugar, donde el alojamiento sea más económico. Ganarán $ 26 por semana, pero los albergues cuestan $ 20, mientras que el entretenimiento todavía cuesta $ 170. En ese caso, la solidez será de $ 24 y la oportunidad será de $ 43. El segundo caso tiene menos robustez y menos oportunidad.
Pero, midiendo la incertidumbre por error relativo ,
la robustez es del 20% y la oportunidad es del 23%, mientras que en el resto la robustez es del 38% y la oportunidad es del 60%, por lo que moverse es menos oportuno.
Modelos de brecha de información
Info-gap se puede aplicar a espacios de funciones; en ese caso, el parámetro incierto es una función con presupuesto y los subconjuntos anidados son conjuntos de funciones. Una forma de describir tal conjunto de funciones es exigir que los valores de u estén cerca de los valores depara todo x, utilizando una familia de modelos de brecha de información sobre los valores.
Por ejemplo, el modelo de error fraccionario anterior para valores se convierte en el modelo de error fraccionario para funciones al agregar un parámetro x a la definición:
De manera más general, si es una familia de modelos de valores de info-gap, luego se obtiene un modelo de funciones de info-gap de la misma manera:
Motivación
Es común tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. [nota 1] ¿Qué se puede hacer para tomar buenas decisiones (o al menos las mejores posibles) en condiciones de incertidumbre? El análisis de robustez de la brecha de información evalúa cada decisión factible preguntando: ¿cuánta desviación de una estimación de un valor, función o conjunto de un parámetro está permitida y, sin embargo, "garantiza" un rendimiento aceptable? En términos cotidianos, la "solidez" de una decisión se establece por el tamaño de la desviación de una estimación que aún conduce a un desempeño dentro de los requisitos cuando se utiliza esa decisión. A veces es difícil juzgar cuánta solidez es necesaria o suficiente. Sin embargo, de acuerdo con la teoría de la brecha de información, la clasificación de las decisiones factibles en términos de su grado de solidez es independiente de tales juicios.
La teoría de la brecha de información también propone una función de oportunidad que evalúa el potencial de resultados inesperados como resultado de una incertidumbre favorable.
Ejemplo: asignación de recursos
Asignación de recursos
Suponga que es un director de proyecto y supervisa dos equipos: naranja y blanco. Se obtendrán algunos ingresos al final del año. Tiene una escala de tiempo limitada y su objetivo es decidir cómo espaciar estos recursos entre el naranja y el blanco, de modo que los ingresos totales sean grandes.
Introduciendo incertidumbre
Los ingresos reales pueden ser diferentes. Para el nivel de incertidumbre podemos definir una envolvente. Una menor incertidumbre correspondería a una envolvente más pequeña.
Estos envolventes se denominan modelos de incertidumbre de brecha de información , ya que describen la comprensión de la incertidumbre que rodea a las funciones de ingresos.
Podemos encontrar un modelo para los ingresos totales. La Figura 5 muestra el modelo de brecha de información de los ingresos totales.
Robustez
Los ingresos altos normalmente le harían ganar a un gerente de proyecto el respeto de la alta gerencia, pero si los ingresos totales están por debajo de un cierto umbral, le costará el trabajo de dicho gerente de proyecto. Definiremos dicho umbral como un ingreso crítico , ya que los ingresos totales por debajo de los ingresos críticos se considerarán un fracaso.
Esto se muestra en la Figura 6. Si la incertidumbre aumenta, la envolvente de incertidumbre se volverá más inclusiva, para incluir instancias de la función de ingresos totales que, para la asignación específica, produce un ingreso menor que el ingreso crítico.
La robustez mide la inmunidad de una decisión al fracaso. Un satisfactor robusto es un tomador de decisiones que prefiere opciones con mayor solidez.
Si, por alguna asignación , se ilustra la correlación entre los ingresos críticos y la robustez, el resultado es un gráfico algo similar al de la Figura 7. Este gráfico, llamado curva de robustez de la asignación, tiene dos características importantes, que son comunes a (la mayoría) de las curvas de robustez:
- La curva no aumenta. Esto captura la noción de que cuando existen requisitos más altos (mayores ingresos críticos), es más probable que no se alcance el objetivo (menor solidez). Este es el compromiso entre calidad y robustez.
- En el ingreso nominal, es decir, cuando el ingreso crítico es igual al ingreso bajo el modelo nominal (la estimación de las funciones de ingreso), la robustez es cero. Esto se debe a que una ligera desviación de la estimación puede reducir los ingresos totales.
La decisión depende del valor del fracaso.
Oportunidad
Además de la amenaza de perder su trabajo, la alta dirección le ofrece una zanahoria: si los ingresos son superiores a algunos ingresos, será recompensado.
Si la incertidumbre disminuye, la envolvente de la incertidumbre se volverá menos inclusiva, para excluir todas las instancias de la función de ingresos totales que, para la asignación específica, produce un ingreso mayor que el ingreso inesperado.
Si, por alguna asignación , ilustraremos la correlación entre los ingresos extraordinarios y la robustez, tendremos una gráfica algo similar a la Figura 10. Esta gráfica, llamada curva de oportunidad de asignación, tiene dos características importantes, que son comunes a (la mayoría) de las curvas de oportunidad:
- La curva no es decreciente. Esto captura la noción de que cuando tenemos requisitos más altos (mayores ingresos inesperados), somos más inmunes al fracaso (mayor oportunidad, que es menos deseable). Es decir, necesitamos una desviación más sustancial de la estimación para lograr nuestro ambicioso objetivo. Este es el compromiso entre calidad y oportunidad.
- En el ingreso nominal, es decir, cuando el ingreso crítico es igual al ingreso bajo el modelo nominal (nuestra estimación de las funciones de ingreso), la oportunidad es cero. Esto se debe a que no se necesita desviación de la estimación para lograr los ingresos extraordinarios.
Tratamiento de la incertidumbre severa
Tenga en cuenta que, además de los resultados generados por la estimación, también se muestran dos valores verdaderos "posibles" de los ingresos a una distancia de la estimación.
Como se indica en la imagen, dado que el modelo de robustez de la brecha de información aplica su análisis de Maximin en una vecindad inmediata de la estimación, no hay garantía de que el análisis se realice de hecho en la vecindad del valor real de los ingresos. De hecho, en condiciones de gran incertidumbre, esto, desde el punto de vista metodológico, es muy poco probable.
Esto plantea la pregunta: ¿qué tan válidos / útiles / significativos son los resultados? ¿No estamos barriendo la severidad de la incertidumbre debajo de la alfombra?
Por ejemplo, suponga que una asignación dada resulta muy frágil en las proximidades de la estimación. ¿Significa esto que esta asignación también es frágil en otros lugares de la región de incertidumbre? A la inversa, ¿qué garantía hay de que una asignación que sea robusta en el entorno de la estimación también sea robusta en otros lugares de la región de incertidumbre, de hecho, en el entorno del valor real de los ingresos?
Más fundamentalmente, dado que los resultados generados por la brecha de información se basan en un análisis local de ingresos / asignación en el vecindario de una estimación que probablemente sea sustancialmente incorrecta, no tenemos otra opción, metodológicamente hablando, que asumir que los resultados generados por este análisis es igualmente probable que sean sustancialmente erróneos. En otras palabras, de acuerdo con el axioma universal Garbage In - Garbage Out , tenemos que asumir que la calidad de los resultados generados por el análisis de info-gap es tan buena como la calidad de la estimación en la que se basan los resultados.
La imagen habla por sí sola.
Lo que surge entonces es que la teoría de la brecha de información aún debe explicar de qué manera, si es que intenta alguna, realmente intenta lidiar con la severidad de la incertidumbre bajo consideración. Las secciones posteriores de este artículo abordarán este problema de gravedad y sus implicaciones metodológicas y prácticas.
Un análisis más detallado de un problema de inversión numérico ilustrativo de este tipo se puede encontrar en Sniedovich (2007).
Modelos de incertidumbre
Las brechas de información se cuantifican mediante modelos de incertidumbre de brechas de información. Un modelo de brecha de información es una familia ilimitada de conjuntos anidados. Por ejemplo, un ejemplo que se encuentra con frecuencia es una familia de elipsoides anidados que tienen todos la misma forma. La estructura de los conjuntos en un modelo de info-gap se deriva de la información sobre la incertidumbre. En términos generales, la estructura de un modelo de incertidumbre info-gap se elige para definir la familia de conjuntos más pequeña o más estricta cuyos elementos son consistentes con la información previa. Dado que, por lo general, no se conoce el peor de los casos, la familia de conjuntos puede ser ilimitada.
Un ejemplo común de un modelo de brecha de información es el modelo de error fraccional. La mejor estimación de una función incierta es , pero se desconoce el error fraccionario de esta estimación. La siguiente familia ilimitada de conjuntos anidados de funciones es un modelo de brecha de información de error fraccional:
En cualquier horizonte de incertidumbre , el conjunto contiene todas las funciones cuya desviación fraccionaria de no es mayor que . Sin embargo, se desconoce el horizonte de incertidumbre, por lo que el modelo de brecha de información es una familia de conjuntos ilimitada y no existe el peor de los casos ni la mayor desviación.
Hay muchos otros tipos de modelos de incertidumbre de brecha de información. Todos los modelos de info-gap obedecen a dos axiomas básicos :
- Anidamiento. El modelo de brecha de información está anidado si implica que:
- Contracción. El modelo de brecha de información es un conjunto singleton que contiene su punto central:
El axioma de anidamiento impone la propiedad de "agrupación" que es característica de la incertidumbre de la brecha de información. Además, el axioma de anidamiento implica que la incertidumbre establece volverse más inclusivo a medida que crece, dotando así con su significado como horizonte de incertidumbre. El axioma de contracción implica que, en el horizonte de incertidumbre cero, la estimación es correcto.
Recuerde que el elemento incierto puede ser un parámetro, vector, función o conjunto. El modelo de brecha de información es entonces una familia ilimitada de conjuntos anidados de parámetros, vectores, funciones o conjuntos.
Conjuntos de subnivel
Para una estimación de punto fijo un modelo de brecha de información es a menudo equivalente a una función definido como:
lo que significa que "la incertidumbre de un punto u es la incertidumbre mínima tal que u está en el conjunto con esa incertidumbre". En este caso, la familia de conjuntosse puede recuperar como los conjuntos de subniveles de:
significado: "el subconjunto anidado con horizonte de incertidumbre consta de todos los puntos con una incertidumbre menor o igual a ".
Por el contrario, dada una función satisfaciendo el axioma (equivalentemente, si y solo si ), define un modelo de brecha de información a través de los conjuntos de subniveles.
Por ejemplo, si la región de incertidumbre es un espacio métrico , entonces la función de incertidumbre puede ser simplemente la distancia, por lo que los subconjuntos anidados son simplemente
Esto siempre define un modelo de brecha de información, ya que las distancias siempre son no negativas (axioma de no negatividad) y satisface (axioma de contracción de info-gap) porque la distancia entre dos puntos es cero si y solo si son iguales (la identidad de los indiscernibles); el anidamiento sigue por la construcción del conjunto de subnivel.
No todos los modelos de brecha de información surgen como conjuntos de subnivel: por ejemplo, si para todos pero no para (tiene incertidumbre "un poco más" que 1), entonces el mínimo anterior no está definido; uno puede reemplazarlo por un infimum , pero entonces los conjuntos de subniveles resultantes no estarán de acuerdo con el modelo de infogap: pero Sin embargo, el efecto de esta distinción es muy pequeño, ya que modifica conjuntos en menos que cambiar el horizonte de incertidumbre por cualquier número positivo. sin embargo pequeño.
Robustez y oportunidad
La incertidumbre puede ser perniciosa o propicia . Es decir, las variaciones inciertas pueden ser adversas o favorables. La adversidad implica la posibilidad de fracasar, mientras que la favorabilidad es la oportunidad de un éxito arrollador. La teoría de la decisión de la brecha de información se basa en cuantificar estos dos aspectos de la incertidumbre y elegir una acción que aborde uno u otro o ambos simultáneamente. Los aspectos perniciosos y propicios de la incertidumbre se cuantifican mediante dos "funciones de inmunidad": la función de robustez expresa la inmunidad al fracaso, mientras que la función de oportunidad expresa la inmunidad a la ganancia inesperada.
Funciones de robustez y oportunidad
La función de robustez expresa el mayor nivel de incertidumbre en el que no puede ocurrir una falla; la función de oportunidad es el menor nivel de incertidumbre que conlleva la posibilidad de un éxito arrollador. Las funciones de robustez y oportunidad abordan, respectivamente, las facetas perniciosa y propicia de la incertidumbre.
Dejar ser un vector de decisión de parámetros tales como variables de diseño, tiempo de inicio, parámetros del modelo u opciones operativas. Podemos expresar verbalmente las funciones de robustez y oportunidad como el máximo o mínimo de un conjunto de valores del parámetro de incertidumbre de un modelo de brecha de información:
(robustez) (1a) (oportunidad) (2a)
Formalmente,
(robustez) (1b) (oportunidad) (2b)
Podemos "leer" la ecuación. (1) como sigue. La robustez de vector de decisión es el mayor valor del horizonte de incertidumbre para lo cual siempre se cumplen los requisitos mínimos especificados . expresa robustez: el grado de resistencia a la incertidumbre e inmunidad contra fallas, por lo que un gran valor de es deseable. La robustez se define como el peor de los casos hasta el horizonte de la incertidumbre: ¿qué tan grande puede ser el horizonte de la incertidumbre y aún, incluso en el peor de los casos, alcanzar el nivel crítico de resultado?
Eq. (2) establece que la oportunidad es el menor nivel de incertidumbre que debe ser tolerado para permitir la posibilidad de un éxito rotundo como resultado de las decisiones. es la inmunidad contra la recompensa inesperada, por lo que un pequeño valor de es deseable. Un pequeño valor derefleja la situación oportuna de que es posible una gran recompensa incluso en presencia de poca incertidumbre ambiental. La oportunidad se define como un escenario en el mejor de los casos hasta el horizonte de la incertidumbre: ¿qué tan pequeño puede ser el horizonte de la incertidumbre y aún, en el mejor de los casos, lograr la recompensa inesperada?
Las funciones de inmunidad y son complementarios y se definen en un sentido antisimétrico. Por lo tanto, "cuanto más grande, mejor" para mientras que "grande es malo" para . Las funciones de inmunidad (robustez y oportunidad) son las funciones de decisión básicas en la teoría de decisiones de brecha de información.
Mejoramiento
La función de robustez implica una maximización, pero no del desempeño o resultado de la decisión: en general, el resultado podría ser arbitrariamente malo. Más bien, maximiza el nivel de incertidumbre que se requeriría para que el resultado falle.
La mayor incertidumbre tolerable se encuentra en qué decisión satisface el desempeño a un nivel crítico de supervivencia. Uno puede establecer sus preferencias entre las acciones disponibles. según su robustez , por lo que una mayor robustez genera una mayor preferencia. De esta manera, la función de robustez subyace en un algoritmo de decisión satisfactorio que maximiza la inmunidad a la incertidumbre perniciosa.
La función de oportunidad en la ecuación. (2) implica una minimización, pero no, como podría esperarse, del daño que puede derivarse de eventos adversos desconocidos. Se busca el menor horizonte de incertidumbre en el que se toma la decisiónpermite (pero no garantiza necesariamente) una gran ganancia inesperada. A diferencia de la función de robustez, la función de oportunidad no satisface, es "ganancias inesperadas". Las preferencias inesperadas son aquellas que prefieren acciones para las que la función de oportunidad tiene un valor pequeño. Cuándo se usa para elegir una acción , uno es "una ganancia inesperada" al optimizar la oportunidad de la incertidumbre propicia en un intento de permitir metas o recompensas muy ambiciosas.
Dada una función de recompensa escalar , dependiendo del vector de decisión y la función de incertidumbre de brecha de información , el requisito mínimo en eq. (1) es que la recompensa ser nada menos que un valor crítico . Asimismo, el gran éxito en la ecuación. (2) es el logro de un nivel de recompensa de "sueño más salvaje" que es mucho mayor que . Por lo general, ninguno de estos valores umbral, y , se elige irrevocablemente antes de realizar el análisis de decisión. Por el contrario, estos parámetros permiten al tomador de decisiones explorar una variedad de opciones. En cualquier caso, la recompensa inesperada es mayor, generalmente mucho mayor, que la recompensa crítica :
Las funciones de robustez y oportunidad de las eq. (1) y (2) ahora se pueden expresar de manera más explícita:
(3) (4)
es el mayor nivel de incertidumbre consistente con la recompensa garantizada no menos que la recompensa crítica , tiempo es el menor nivel de incertidumbre que debe aceptarse para facilitar (pero no garantizar) ganancias inesperadas tan grandes como . La estructura complementaria o antisimétrica de las funciones de inmunidad es evidente a partir de las eq. (3) y (4).
Estas definiciones se pueden modificar para manejar funciones de recompensa de varios criterios. Asimismo, se aplican definiciones análogas cuando es una pérdida más que una recompensa.
Reglas de decisión
Con base en estas funciones, se puede decidir entonces un curso de acción optimizando la incertidumbre: elegir la decisión que sea más sólida (que pueda soportar la mayor incertidumbre; "satisfactoria"), o elegir la decisión que requiera la menor incertidumbre para lograr una ganancia inesperada.
Formalmente, optimizar para robustez u optimizar para oportunidad produce una relación de preferencia en el conjunto de decisiones, y la regla de decisión es "optimizar con respecto a esta preferencia".
En el de abajo, deja ser el conjunto de todos los vectores de decisión disponibles o factibles .
Robusto-satisfactorio
La función de robustez genera preferencias robustas-satisfactorias sobre las opciones: las decisiones se clasifican en orden creciente de robustez, para una recompensa crítica determinada, es decir, por valor, significado Si
Una decisión robusta-satisfactoria es aquella que maximiza la robustez y satisface el rendimiento en el nivel crítico..
Denote la máxima robustez por (formalmente para la máxima robustez para una recompensa crítica dada), y la correspondiente decisión (o decisiones) por (formalmente, la acción de optimización crítica para un nivel dado de recompensa crítica):
Por lo general, aunque no invariablemente, la acción robusta-satisfactoria depende de la recompensa crítica .
Oportuno-inesperado
A la inversa, se puede optimizar la oportunidad: la función de oportunidad genera preferencias oportunas y inesperadas sobre las opciones: las decisiones se clasifican en orden decreciente de oportunidad, para una recompensa inesperada determinada, es decir, por valor, significado Si
La decisión inesperada y oportuna, , minimiza la función de oportunidad sobre el conjunto de decisiones disponibles.
Denote la oportunidad mínima por (formalmente por la oportunidad mínima para una recompensa inesperada dada), y la decisión (o decisiones) correspondiente por (formalmente, la acción de optimización de ganancias inesperadas para un nivel dado de recompensa inesperada):
Los dos rankings de preferencias, así como las correspondientes decisiones óptimas y , puede ser diferente y puede variar dependiendo de los valores de y
Aplicaciones
La teoría de la brecha de información ha generado mucha literatura. La teoría de la brecha de información se ha estudiado o aplicado en una variedad de aplicaciones, incluida la ingeniería, [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] conservación biológica, [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] biología teórica , [31] seguridad nacional, [32] economía, [33] [34] [35] gestión de proyectos [36] [37] [38] y estadísticas. [39] También se han estudiado cuestiones fundamentales relacionadas con la teoría de la brecha de información. [40] [41] [42] [43] [44] [45]
El resto de esta sección describe con un poco más de detalle el tipo de incertidumbres que aborda la teoría de la brecha de información. Aunque a continuación se mencionan muchos trabajos publicados, aquí no se intenta presentar ideas de estos artículos. El énfasis no está en la elucidación de los conceptos de la teoría de la brecha de información, sino en el contexto donde se usa y los objetivos.
Ingenieria
Una aplicación de ingeniería típica es el análisis de vibraciones de una viga fisurada, donde se desconoce la ubicación, tamaño, forma y orientación de la fisura e influye enormemente en la dinámica de vibración. [9] Generalmente se sabe muy poco sobre estas incertidumbres espaciales y geométricas. El análisis de la brecha de información permite modelar estas incertidumbres y determinar el grado de robustez, a estas incertidumbres, de propiedades como la amplitud de vibración, las frecuencias naturales y los modos naturales de vibración. Otro ejemplo es el diseño estructural de un edificio sujeto a cargas inciertas, como el viento o los terremotos. [8] [10] La respuesta de la estructura depende en gran medida de la distribución espacial y temporal de las cargas. Sin embargo, las tormentas y los terremotos son eventos altamente idiosincrásicos, y la interacción entre el evento y la estructura implica propiedades mecánicas muy específicas del sitio que rara vez se conocen. El análisis de info-gap permite el diseño de la estructura para mejorar la inmunidad estructural contra desviaciones inciertas de la base de diseño o cargas estimadas del peor de los casos. [ cita requerida ] Otra aplicación de ingeniería involucra el diseño de una red neuronal para detectar fallas en un sistema mecánico, basada en mediciones en tiempo real. Una dificultad importante es que las fallas son altamente idiosincrásicas, por lo que los datos de entrenamiento para la red neuronal tenderán a diferir sustancialmente de los datos obtenidos de fallas en tiempo real después de que la red ha sido entrenada. La estrategia de robustez de la brecha de información permite diseñar la red neuronal para que sea robusta a la disparidad entre los datos de entrenamiento y los eventos reales futuros. [11] [13]
Biología
El biólogo conservacionista se enfrenta a lagunas de información al utilizar modelos biológicos. Usan curvas de robustez de la brecha de información para seleccionar entre las opciones de manejo para las poblaciones de gusanos de la picea en el este de Canadá. Burgman [46] utiliza el hecho de que las curvas de robustez de diferentes alternativas pueden cruzarse.
Gestión de proyectos
La gestión de proyectos es otra área donde la incertidumbre de la brecha de información es común. El gerente de proyecto a menudo tiene información muy limitada sobre la duración y el costo de algunas de las tareas del proyecto, y la solidez de la brecha de información puede ayudar en la planificación e integración del proyecto. [37] La economía financiera es otro ámbito en el que el futuro está plagado de sorpresas, que pueden ser perniciosas o propicias. Los análisis de robustez y oportunidad de la brecha de información pueden ayudar en el diseño de la cartera, el racionamiento del crédito y otras aplicaciones. [33]
Limitaciones
Al aplicar la teoría de la brecha de información, uno debe ser consciente de ciertas limitaciones.
En primer lugar, info-gap hace suposiciones, es decir, sobre el universo en cuestión y el grado de incertidumbre: el modelo de info-gap es un modelo de grados de incertidumbre o similitud de varios supuestos, dentro de un universo dado. Info-gap no hace suposiciones de probabilidad dentro de este universo - no es probabilístico - pero cuantifica una noción de "distancia desde la estimación". En resumen, info-gap hace menos suposiciones que un método probabilístico, pero hace algunas suposiciones.
Por ejemplo, un modelo simple de rendimientos diarios del mercado de valores, que por definición caen en el rango - puede incluir movimientos extremos como el Lunes Negro (1987) pero puede que no modele los colapsos del mercado después de los ataques del 11 de septiembre : considera las "incógnitas conocidas", no las " incógnitas desconocidas ". Esta es una crítica general a gran parte de la teoría de la decisión , y de ninguna manera es específica del info-gap, pero el info-gap no es inmune a él.
En segundo lugar, no existe una escala natural: ¿hay incertidumbre de ¿pequeño o largo? Los diferentes modelos de incertidumbre dan diferentes escalas y requieren juicio y comprensión del dominio y el modelo de incertidumbre. De manera similar, medir las diferencias entre los resultados requiere juicio y comprensión del dominio.
En tercer lugar, si el universo en consideración es más grande que un horizonte significativo de incertidumbre y los resultados para estos puntos distantes son significativamente diferentes de los puntos cercanos a la estimación, las conclusiones de los análisis de robustez u oportunidad serán generalmente: "uno debe tener mucha confianza en su suposiciones, de lo contrario, se puede esperar que los resultados varíen significativamente de las proyecciones ", una conclusión cautelosa.
Descargo de responsabilidad y resumen
Las funciones de robustez y oportunidad pueden informar la decisión. Por ejemplo, un cambio en la decisión que aumenta la solidez puede aumentar o disminuir la oportunidad. Desde una postura subjetiva, la robustez y la oportunidad se contraponen a la aspiración de un resultado: la robustez y la oportunidad se deterioran a medida que aumentan las aspiraciones de quienes toman las decisiones. La solidez es cero para los mejores resultados anticipados del modelo. Las curvas de robustez para decisiones alternativas pueden cruzarse en función de la aspiración, lo que implica un cambio de preferencia.
Varios teoremas identifican condiciones en las que una mayor solidez de la brecha de información implica una mayor probabilidad de éxito, independientemente de la distribución de probabilidad subyacente. Sin embargo, estas condiciones son técnicas y no se traducen en recomendaciones verbales de sentido común, lo que limita las aplicaciones de la teoría de la brecha de información por parte de no expertos.
Crítica
Una crítica general de las reglas de decisión no probabilísticas, discutidas en detalle en la teoría de la decisión: alternativas a la teoría de la probabilidad , es que las reglas de decisión óptimas (formalmente, reglas de decisión admisibles ) siempre pueden derivarse por métodos probabilísticos, con una función de utilidad adecuada y una distribución previa. (este es el enunciado de los teoremas de clase completos) y, por lo tanto, los métodos no probabilísticos como el info-gap son innecesarios y no producen reglas de decisión nuevas o mejores.
Una crítica más general de la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre es el impacto de eventos inesperados de gran tamaño, que no son capturados por el modelo. Esto se discute particularmente en la teoría del cisne negro , y el info-gap, usado de forma aislada, es vulnerable a esto, al igual que a fortiori todas las teorías de decisión que usan un universo fijo de posibilidades, notablemente probabilísticas.
Sniedovich [47] plantea dos puntos a la teoría de la decisión de brecha de información, uno sustantivo y otro académico:
- 1. el modelo de incertidumbre de la brecha de información es defectuoso y está sobrevendido
- Uno debe considerar el rango de posibilidades, no sus subconjuntos. Sniedovich sostiene que la teoría de la decisión de la brecha de información es, por lo tanto, una "teoría de la decisión vudú".
- 2. info-gap es maximin
- Ben-Haim afirma (Ben-Haim 1999, págs. 271-2) que "la fiabilidad robusta no es enfáticamente un análisis [mínimo-máximo] del peor de los casos". Tenga en cuenta que Ben-Haim compara info-gap con minimax, mientras que Sniedovich lo considera un caso de maximin.
Sniedovich ha cuestionado la validez de la teoría de la brecha de información para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre severa. Sniedovich señala que la función de robustez de la brecha de información es "local" en la región alrededor, dónde es probable que tenga un error sustancial.
Maximin
Simbólicamente, máx. suponiendo un resultado mínimo (en el peor de los casos) o maximin.
En otras palabras, si bien no es un análisis maximin del resultado sobre el universo de la incertidumbre, es un análisis maximin sobre un espacio de decisión correctamente interpretado.
Ben-Haim sostiene que el modelo de robustez de info-gap no es un análisis min-max / maximin porque no es un análisis de resultados en el peor de los casos ; es un modelo satisfactorio , no un modelo de optimización; un análisis de maximin (sencillo) consideraría los resultados del peor de los casos en todo el espacio que, dado que la incertidumbre a menudo es potencialmente ilimitada, produciría un peor caso ilimitado.
Radio de estabilidad
Sniedovich [3] ha demostrado que el modelo de robustez de info-gap es un modelo de radio de estabilidad simple , es decir, un modelo de estabilidad local de la forma genérica
dónde denota una bola de radio centrado en y denota el conjunto de valores de que satisfacen las condiciones de estabilidad predeterminadas.
En otras palabras, el modelo de robustez de info-gap es un modelo de radio de estabilidad caracterizado por un requisito de estabilidad de la forma . Dado que los modelos de radio de estabilidad están diseñados para el análisis de pequeñas perturbaciones en un valor nominal dado de un parámetro, Sniedovich [3] sostiene que el modelo de robustez de info-gap no es adecuado para el tratamiento de una incertidumbre severa caracterizada por una estimación pobre y un amplio espacio de incertidumbre. .
Discusión
Racionalidad satisfactoria y acotada
Es cierto que la función de robustez de la brecha de información es local y tiene un valor cuantitativo restringido en algunos casos. Sin embargo, un propósito principal del análisis de decisiones es proporcionar un enfoque para juicios subjetivos. Es decir, independientemente del análisis formal, se proporciona un marco para la discusión. Sin entrar en ningún marco en particular, o características de los marcos en general, sigue la discusión sobre las propuestas para tales marcos.
Simon [48] introdujo la idea de racionalidad limitada . Las limitaciones en el conocimiento, la comprensión y la capacidad computacional limitan la capacidad de los tomadores de decisiones para identificar las opciones óptimas. Simon abogó por satisfacer en lugar de optimizar: buscar resultados adecuados (en lugar de óptimos) dados los recursos disponibles. Schwartz, [49] Conlisk [50] y otros analizan una amplia evidencia del fenómeno de la racionalidad limitada entre los tomadores de decisiones humanos, así como de las ventajas de satisfacer cuando el conocimiento y la comprensión son deficientes. La función de robustez de la brecha de información proporciona un medio para implementar una estrategia satisfactoria bajo una racionalidad limitada. Por ejemplo, al discutir la racionalidad limitada y la satisfacción en la conservación y la gestión ambiental, Burgman señala que "la teoría de la brecha de información ... puede funcionar con sensatez cuando hay brechas de conocimiento 'graves'". Las funciones de robustez y oportunidad de la brecha de información proporcionan "un marco formal para explorar los tipos de especulaciones que ocurren intuitivamente al examinar las opciones de decisión". [51] Burgman luego procede a desarrollar una estrategia robusta-satisfactoria de brecha de información para proteger al loro de vientre naranja en peligro de extinción. De manera similar, Vinot, Cogan y Cipolla [52] discuten el diseño de ingeniería y señalan que "la desventaja de un análisis basado en modelos radica en el conocimiento de que el comportamiento del modelo es solo una aproximación al comportamiento del sistema real. De ahí la pregunta del diseñador honesto : ¿Qué tan sensible es mi medida del éxito del diseño a las incertidumbres en la representación de mi sistema? ... Es evidente que si el análisis basado en modelos se va a utilizar con algún nivel de confianza, entonces ... [uno debe] intentar satisfacer un nivel aceptable nivel de rendimiento subóptimo sin dejar de ser máximamente robusto a las incertidumbres del sistema ". [52] Proceden a desarrollar un procedimiento de diseño satisfactorio robusto de brecha de información para una aplicación aeroespacial.
Alternativas
Por supuesto, la decisión frente a la incertidumbre no es nada nuevo y los intentos de abordarla tienen una larga historia. Varios autores han observado y discutido similitudes y diferencias entre la robustez del info-gap y los métodos minimax o del peor de los casos [7] [16] [35] [37] [53] . [54] Sniedovich [47] ha demostrado formalmente que la función de robustez del info-gap se puede representar como una optimización maximin y, por lo tanto, está relacionada con la teoría minimax de Wald. Sniedovich [47] ha afirmado que el análisis de robustez de info-gap se realiza en el entorno de una estimación que probablemente sea sustancialmente incorrecta, concluyendo que la función de robustez resultante es igualmente probable que sea sustancialmente incorrecta.
Por otro lado, la estimación es la mejor que se tiene, por lo que es útil saber si puede errar mucho y aun así arrojar un resultado aceptable. Esta pregunta crítica plantea claramente la cuestión de si la robustez (según la define la teoría de la brecha de información) está calificada para juzgar si la confianza está justificada, [5] [55] [56] y cómo se compara con los métodos utilizados para informar decisiones bajo incertidumbre utilizando Consideraciones que no se limitan al vecindario de una mala suposición inicial. Las respuestas a estas preguntas varían según el problema particular en cuestión. A continuación se presentan algunos comentarios generales.
Análisis de sensibilidad
El análisis de sensibilidad - qué tan sensibles son las conclusiones a los supuestos de entrada - se puede realizar independientemente de un modelo de incertidumbre: más simplemente, uno puede tomar dos valores supuestos diferentes para una entrada y comparar las conclusiones. Desde esta perspectiva, el info-gap puede verse como una técnica de análisis de sensibilidad, aunque de ninguna manera la única.
Optimización robusta
La bibliografía sólida sobre optimización [57] [58] [59] [60] [61] [62] proporciona métodos y técnicas que adoptan un enfoque global para el análisis de robustez. Estos métodos abordan directamente la decisión en situaciones de incertidumbre severa y se han utilizado para este propósito durante más de treinta años. El modelo Maximin de Wald es el principal instrumento utilizado por estos métodos.
La principal diferencia entre el modelo Maximin empleado por info-gap y los diversos modelos Maximin empleados por métodos de optimización robustos está en la forma en que la región total de incertidumbre se incorpora en el modelo de robustez. Info-gap adopta un enfoque local que se concentra en la vecindad inmediata de la estimación. En marcado contraste, los métodos de optimización robustos se propusieron incorporar en el análisis toda la región de incertidumbre, o al menos una representación adecuada de la misma. De hecho, algunos de estos métodos ni siquiera utilizan una estimación.
Análisis comparativo
Clásica teoría de la decisión, [63] [64] ofrece dos enfoques para la toma de decisiones bajo incertidumbre severa, es decir maximin y Laplace principio de razón insuficiente (asumir todos los resultados igualmente probables); estos pueden ser considerados soluciones alternativas al problema que aborda el info-gap.
Además, como se discutió en la teoría de la decisión: alternativas a la teoría de la probabilidad , los probabilistas , particularmente los probabilistas bayesianos, argumentan que las reglas de decisión óptimas (formalmente, reglas de decisión admisibles ) siempre pueden derivarse por métodos probabilísticos (este es el enunciado de los teoremas de clase completos ), y por lo tanto, los métodos no probabilísticos como el info-gap son innecesarios y no producen reglas de decisión nuevas o mejores.
Maximin
Como lo atestigua la rica literatura sobre optimización robusta , maximin proporciona una amplia gama de métodos para la toma de decisiones frente a una incertidumbre severa.
De hecho, como se discutió en la crítica de la teoría de decisiones de la brecha de información, el modelo de robustez de la brecha de información puede interpretarse como una instancia del modelo general de maximin.
Análisis bayesiano
En cuanto al principio de razón insuficiente de Laplaces , en este contexto conviene verlo como una instancia de análisis bayesiano .
La esencia del análisis bayesiano es la aplicación de probabilidades para diferentes realizaciones posibles de los parámetros inciertos. En el caso de la incertidumbre Knightiana (no probabilística) , estas probabilidades representan el "grado de creencia" del tomador de decisiones en una realización específica.
En nuestro ejemplo, suponga que solo hay cinco posibles realizaciones de la función de ingreso incierto a asignación. El tomador de decisiones cree que la función estimada es la más probable y que la probabilidad disminuye a medida que aumenta la diferencia con la estimación. La Figura 11 ejemplifica tal distribución de probabilidad.
Ahora, para cualquier asignación, uno puede construir una distribución de probabilidad de los ingresos, basada en sus creencias anteriores. El tomador de decisiones puede entonces elegir la asignación con los ingresos esperados más altos, con la probabilidad más baja de ingresos inaceptables, etc.
El paso más problemático de este análisis es la elección de las probabilidades de realización. Cuando hay una experiencia pasada extensa y relevante, un experto puede usar esta experiencia para construir una distribución de probabilidad. Pero incluso con una amplia experiencia pasada, cuando algunos parámetros cambian, es posible que el experto solo pueda estimar que es más probable que , pero no podrá cuantificar de forma fiable esta diferencia. Además, cuando las condiciones cambian drásticamente, o cuando no hay ninguna experiencia pasada, puede resultar difícil incluso estimar si es más probable que .
Sin embargo, metodológicamente hablando, esta dificultad no es tan problemática como basar el análisis de un problema sujeto a severa incertidumbre en una estimación puntual única y su vecindad inmediata, como lo hace el info-gap. Y lo que es más, contrariamente al info-gap, este enfoque es global, en lugar de local.
Sin embargo, debe enfatizarse que el análisis bayesiano no se preocupa expresamente por la cuestión de la robustez.
El análisis bayesiano plantea la cuestión de aprender de la experiencia y ajustar las probabilidades en consecuencia. En otras palabras, la decisión no es un proceso integral, sino que se beneficia de una secuencia de decisiones y observaciones.
Perspectiva de la teoría clásica de la decisión
Sniedovich [47] plantea dos puntos a la brecha de información, desde el punto de vista de la teoría clásica de la decisión, uno sustantivo y otro académico:
- el modelo de incertidumbre de la brecha de información es defectuoso y está sobrevendido
- En condiciones de incertidumbre severa, se debe utilizar la teoría de la decisión global , no la teoría de la decisión local .
- info-gap es maximin
- Ben-Haim (2006, p.xii) afirma que la brecha de información es "radicalmente diferente de todas las teorías actuales de decisión bajo incertidumbre". Ben-Haim afirma (Ben-Haim 1999, págs. 271-2) que "la fiabilidad robusta no es enfáticamente un análisis [mínimo-máximo] del peor de los casos".
Sniedovich ha cuestionado la validez de la teoría de la brecha de información para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre severa.
En el marco de la clásica teoría de la decisión , la robustez del modelo de información brecha puede ser interpretado como una instancia de Wald 's Maximin modelo y su modelo de oportunidad es una instancia del modelo clásico Minimin. Ambos operan en el entorno de una estimación del parámetro de interés cuyo valor real está sujeto a una gran incertidumbre y, por lo tanto, es probable que sea sustancialmente incorrecto . Además, las consideraciones que influyen en el proceso de decisión en sí también se originan en la localidad de esta estimación poco confiable y, por lo tanto, pueden o no reflejar toda la gama de decisiones e incertidumbres.
Antecedentes, supuestos de trabajo y una mirada al futuro
Ahora, como se describe en la literatura de info-gap, Info-Gap se diseñó expresamente como una metodología para resolver problemas de decisión que están sujetos a una gran incertidumbre. Y además, su objetivo es buscar soluciones robustas .
Por lo tanto, para tener una imagen clara del modus operandi de info-gap y su papel y lugar en la teoría de la decisión y la optimización robusta, es imperativo examinarlo dentro de este contexto. En otras palabras, es necesario establecer la relación del info-gap con la teoría clásica de la decisión y la optimización robusta. Para ello, deben abordarse las siguientes cuestiones:
- ¿Cuáles son las características de los problemas de decisión que están sujetos a una gran incertidumbre?
- ¿Qué dificultades surgen en el modelado y la solución de tales problemas?
- ¿Qué tipo de robustez se busca?
- ¿Cómo aborda la teoría de la brecha de información estos problemas?
- ¿De qué manera la teoría de la decisión de brecha de información es similar y / o diferente de otras teorías para la decisión en condiciones de incertidumbre?
Es necesario aclarar dos puntos importantes a este respecto desde el principio:
- Teniendo en cuenta la gravedad de la incertidumbre para la que se diseñó el info-gap, es fundamental aclarar las dificultades que plantea la grave incertidumbre.
- Dado que la brecha de información es un método no probabilístico que busca maximizar la robustez a la incertidumbre, es imperativo compararlo con el modelo "no probabilístico" más importante en la teoría clásica de la decisión, el paradigma Maximin de Wald (Wald 1945, 1950). . Después de todo, este paradigma ha dominado la escena en la teoría clásica de la decisión durante más de sesenta años.
Entonces, primero aclaremos los supuestos que implican una incertidumbre severa .
Supuestos de trabajo
La teoría de la decisión de la brecha de información emplea tres construcciones simples para capturar la incertidumbre asociada con los problemas de decisión:
- Un parámetro cuyo verdadero valor está sujeto a una gran incertidumbre.
- Una región de incertidumbre donde el verdadero valor de mentiras.
- Un estimado del verdadero valor de .
Sin embargo, cabe señalar que, como tales, estos constructos son genéricos, lo que significa que pueden emplearse para modelar situaciones en las que la incertidumbre no es grave sino leve, de hecho muy leve. Por lo tanto, es vital tener claro que para dar una expresión adecuada a la gravedad de la incertidumbre, en el marco de Info-Gap estos tres constructos reciben un significado específico.
Supuestos de trabajo
- La región de la incertidumbre es relativamente grande.
De hecho, Ben-Haim (2006, p. 210) indica que en el contexto de la teoría de la decisión de la brecha de información, la mayoría de las regiones de incertidumbre que se encuentran comúnmente son ilimitadas.- El estimado es una mala aproximación del verdadero valor de.
Es decir, la estimación es una mala indicación del verdadero valor de(Ben-Haim, 2006, p. 280) y es probable que esté sustancialmente equivocado (Ben-Haim, 2006, p. 281).En la imagen representa el valor verdadero (desconocido) de .
El punto a señalar aquí es que las condiciones de incertidumbre severa implican que la estimación puede, en términos relativos, estar muy distante del valor real . Esto es particularmente pertinente para metodologías, como info-gap, que buscan robustez ante la incertidumbre. De hecho, asumir lo contrario, metodológicamente hablando, equivaldría a participar en una ilusión.
Paradigma de Maximin de Wald
La idea básica detrás de este famoso paradigma se puede expresar en lenguaje sencillo de la siguiente manera:
Regla de Maximin Debemos adoptar la alternativa cuyo peor resultado sea superior al peor resultado de los demás.
Rawls [65] (1971, pág. 152)
Así, de acuerdo con este paradigma, en el marco de la toma de decisiones bajo una incertidumbre severa, la robustez de una alternativa es una medida de qué tan bien esta alternativa puede hacer frente al peor resultado incierto que puede generar. Huelga decir que esta actitud hacia la incertidumbre severa a menudo conduce a la selección de alternativas muy conservadoras . Esta es precisamente la razón por la que este paradigma no siempre es una metodología satisfactoria para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre severa (Tintner 1952).
Como se indica en la descripción general, el modelo de robustez de info-gap es un modelo de Maximin disfrazado. Más específicamente, es una instancia simple del modelo Maximin de Wald donde:
- La región de incertidumbre asociada con una decisión alternativa es una vecindad inmediata de la estimación. .
- Los resultados inciertos de una alternativa están determinados por una función característica del requisito de desempeño considerado.
Por lo tanto, aparte del tema del conservadurismo , se debe abordar un tema mucho más serio. Este es el problema de validez que surge de la naturaleza local del análisis de robustez de info-gap.
Robustez local vs global
La validez de los resultados generados por el análisis de robustez de info-gap depende de la calidad de la estimación. . Según los propios supuestos de trabajo de info-gap, esta estimación es deficiente y es probable que sea sustancialmente errónea (Ben-Haim, 2006, p. 280-281).
El problema con esta característica del modelo de robustez de info-gap se resalta con más fuerza en la imagen. El círculo blanco representa la vecindad inmediata de la estimación.sobre el que se realiza el análisis de Maximin. Dado que la región de incertidumbre es grande y la calidad de la estimación es deficiente, es muy probable que el valor real de está distante del punto en el que se realiza el análisis de Maximin.
Entonces, dada la gravedad de la incertidumbre en consideración, ¿qué tan válido / útil puede ser realmente este tipo de análisis de Maximin?
Hasta qué punto un análisis de robustez local a la Maximin en la vecindad inmediata de una estimación pobre puede representar adecuadamente una gran región de incertidumbre.
Los métodos de optimización robustos invariablemente adoptan una visión mucho más global de la robustez. Tanto es así que la planificación y la generación de escenarios son temas centrales en esta área. Esto refleja un fuerte compromiso con una representación adecuada de toda la región de incertidumbre en la definición de robustez y en el análisis de robustez en sí.
Esto tiene que ver con la descripción de la contribución de info-gap al estado del arte en la teoría de la decisión, y su papel y lugar frente a otras metodologías.
Papel y lugar en la teoría de la decisión
Info-gap es enfático sobre su avance del estado del arte en la teoría de la decisión (el color se usa aquí para enfatizar):
La teoría de la decisión de la brecha de información es radicalmente diferente de todas las teorías actuales de decisión bajo incertidumbre. La diferencia se origina en el modelado de la incertidumbre como una brecha de información más que como una probabilidad .
Ben-Haim (2006, pág. Xii)En este libro nos concentramos en el concepto relativamente nuevo de incertidumbre por brecha de información, cuyas diferencias con los enfoques más clásicos de la incertidumbre son reales y profundas . A pesar del poder de las teorías de decisión clásicas, en muchas áreas como la ingeniería, la economía, la administración, la medicina y las políticas públicas, ha surgido la necesidad de un formato diferente para las decisiones basadas en evidencia severamente incierta .
Ben-Haim (2006, pág.11)
Estas fuertes afirmaciones deben fundamentarse. En particular, se debe dar una respuesta clara e inequívoca a la siguiente pregunta: ¿de qué manera el modelo de robustez genérico de info-gap es diferente, de hecho, radicalmente diferente , del análisis del peor de los casos a la Maximin ?
Las secciones posteriores de este artículo describen varios aspectos de la teoría de la decisión de la brecha de información y sus aplicaciones, cómo se propone hacer frente a los supuestos de trabajo descritos anteriormente, la naturaleza local del análisis de robustez de la brecha de información y su relación íntima con el paradigma de Maximin clásico de Wald y el peor de los casos. -analisis de CASO.
Propiedad de invariancia
El punto principal a tener en cuenta aquí es que la razón de ser de info-gap es proporcionar una metodología para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre severa . Esto significa que su prueba principal sería la eficacia de su manejo y afrontamiento de una incertidumbre severa . Para ello se debe establecer primero cómo se comportan / tardan los modelos de robustez / oportunidad de Info-Gap, a medida que aumenta / disminuye la severidad de la incertidumbre.
En segundo lugar, debe establecerse si los modelos de robustez / oportunidad de info-gap dan una expresión adecuada a la variabilidad potencial de la función de desempeño en toda la región de incertidumbre. Esto es particularmente importante porque Info — Gap generalmente se ocupa de regiones de incertidumbre relativamente grandes, de hecho ilimitadas.
Entonces deja denotar la región total de incertidumbre y considerar estas preguntas clave:
- ¿Cómo responde el análisis de robustez / oportunidad a un aumento / disminución en el tamaño de ?
- ¿Cómo aumenta / disminuye el tamaño de afectar la solidez u oportunidad de una decisión?
- ¿Qué tan representativos son los resultados generados por el análisis de robustez / oportunidad de info-gap de lo que ocurre en la región total relativamente grande de incertidumbre? ?
Supongamos entonces que la robustez se ha calculado para una decisión y se observa que dónde para algunos .
La pregunta es entonces: ¿cómo sería la robustez de , a saber , se vería afectado si la región de incertidumbre fuera, por ejemplo, dos veces mayor que , o tal vez incluso 10 veces más grande que ?
Considere entonces el siguiente resultado, que es una consecuencia directa de la naturaleza local del análisis de robustez / oportunidad de info-gap y la propiedad de anidamiento de las regiones de incertidumbre de info-gaps (Sniedovich 2007):
Teorema de la invariancia
La solidez de la decisión es invariante con el tamaño de la región total de incertidumbre para todos tal que
(7) para algunos
En otras palabras, para cualquier decisión dada, el análisis de info-gap arroja los mismos resultados para todas las regiones totales de incertidumbre que contienen . Esto se aplica tanto a los modelos de robustez como a los de oportunidad.
Esto se ilustra en la imagen: la solidez de una decisión dada no cambia a pesar de un aumento en la región de incertidumbre de a .
En resumen, a fuerza de centrarse exclusivamente en la vecindad inmediata de la estimación Los modelos de robustez / oportunidad de info-gap son inherentemente locales . Por esta razón son, en principio , incapaces de incorporar en el análisis de y regiones de incertidumbre que se encuentran fuera de los barrios y de la estimación , respectivamente.
Para ilustrar, considere un ejemplo numérico simple donde la región total de incertidumbre es la estimación es y por alguna decisión obtenemos . La imagen es esta:
donde el término "tierra de nadie" se refiere a la parte de la región total de incertidumbre que se encuentra fuera de la región.
Tenga en cuenta que en este caso la solidez de la decisión se basa en su desempeño (en el peor de los casos) en no más de una parte minúscula de la región total de incertidumbre que es una vecindad inmediata de la estimación . Dado que, por lo general, la región total de incertidumbre de la brecha de información no tiene límites, esta ilustración representa un caso habitual en lugar de una excepción.
La solidez / oportunidad de Info-gap son, por definición, propiedades locales. Como tales, no pueden evaluar el desempeño de las decisiones en la región total de incertidumbre. Por esta razón, no está claro cómo los modelos de Robustez / Oportunidad de Info-Gap pueden proporcionar una base significativa / sólida / útil para tomar decisiones bajo una incertidumbre severa donde la estimación es pobre y es probable que sea sustancialmente incorrecta.
Este tema crucial se aborda en secciones posteriores de este artículo.
Maximin / Minimin: jugando juegos de robustez / oportunidad con la naturaleza
Durante más de sesenta años , el modelo Maximin de Wald ha figurado en la teoría de decisiones clásica y áreas relacionadas, como la optimización robusta , como el paradigma no probabilístico más importante para el modelado y tratamiento de la incertidumbre severa.
El info-gap se propone (por ejemplo, Ben-Haim 2001, 2006) como una nueva teoría no probabilística que es radicalmente diferente de todas las teorías de decisión actuales para la decisión bajo incertidumbre. Por lo tanto, es imperativo examinar en esta discusión de qué manera, si es que hay alguna, el modelo de robustez de info-gap es radicalmente diferente de Maximin . Por un lado, existe una evaluación bien establecida de la utilidad de Maximin . Por ejemplo, Berger (Capítulo 5) [66] sugiere que incluso en situaciones en las que no se dispone de información previa (el mejor de los casos para Maximin ), Maximin puede conducir a malas reglas de decisión y ser difícil de implementar. Recomienda la metodología bayesiana . Y como se indicó anteriormente,
También cabe señalar que el principio minimax, incluso si es aplicable, conduce a una política extremadamente conservadora.
Tintner (1952, pág. 25) [67]
Sin embargo, más allá de las ramificaciones que el establecimiento de este punto podría tener para la utilidad del modelo de robustez de info-gap, la razón por la que nos corresponde aclarar la relación entre info-gap y Maximin es la centralidad de este último en la teoría de la decisión. Después de todo, esta es una metodología de decisión clásica importante. Por lo tanto, se esperaría que cualquier teoría que pretenda proporcionar una nueva metodología no probabilística para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre severa se compare con esta incondicional de la teoría de la decisión. Y, sin embargo, no solo está ausente una comparación del modelo de robustez de info-gap con Maximin en los tres libros que exponen info-gap (Ben-Haim 1996, 2001, 2006), Maximin ni siquiera se menciona en ellos como la principal metodología de la teoría de la decisión para severa incertidumbre que es.
En otras partes de la literatura sobre la brecha de información, se pueden encontrar discusiones sobre las similitudes y diferencias entre estos dos paradigmas, así como discusiones sobre la relación entre la brecha de información y el análisis del peor de los casos, [7] [16] [35] [37 ] [53] [68] Sin embargo, la impresión general es que no se ha identificado la conexión íntima entre estos dos paradigmas. De hecho, se argumenta lo contrario. Por ejemplo, Ben-Haim (2005 [35] ) sostiene que el modelo de robustez de info-gap es similar al de Maximin pero no es un modelo de Maximin .
La siguiente cita expresa elocuentemente la evaluación de Ben-Haim de la relación de info-gap con Maximin y proporciona una amplia motivación para el análisis que sigue.
Observamos que la confiabilidad sólida no es enfáticamente un análisis del peor de los casos. En el análisis clásico mínimo-máximo del peor de los casos, el diseñador minimiza el impacto del caso más dañino. Pero un modelo de incertidumbre de brecha de información es una familia ilimitada de conjuntos anidados:, para todos . En consecuencia, no existe el peor de los casos: cualquier evento adverso es menos dañino que algún otro evento más extremo que ocurra con un valor mayor de. ¿Qué Eq. (1) expresa es el mayor nivel de incertidumbre consistente con no falla. Cuando el diseñador elige q para maximizarestá maximizando su inmunidad a una incertidumbre ambiental ilimitada. Lo más cercano a "min-maxing" es que el diseño se elige de modo que los eventos "malos" (que provocan recompensas menos que ) ocurren lo más "lejos" posible (más allá de un valor maximizado de ).
Ben-Haim, 1999, págs. 271-2 [69]
El punto a señalar aquí es que esta afirmación pasa por alto el hecho de que el horizonte de la incertidumbre está limitado por encima (implícitamente) por el requisito de rendimiento
y ese info-gap realiza su análisis del peor de los casos: un análisis a la vez para un determinado - dentro de cada una de las regiones de incertidumbre .
En resumen, dadas las discusiones en la literatura sobre el info-gap sobre este tema, es obvio que el parentesco entre el modelo de robustez del info-gap y el modelo de Maximin de Wald , así como el parentesco del info-gap con otros modelos de la teoría clásica de la decisión debe ser traído a la luz. Por lo tanto, el objetivo de esta sección es colocar los modelos de robustez y oportunidad de info-gap en su contexto adecuado, es decir, dentro de los marcos más amplios de la teoría clásica de la decisión y la optimización robusta .
La discusión se basa en la perspectiva clásica de la teoría de la decisión esbozada por Sniedovich (2007 [70] ) y en textos estándar en esta área (por ejemplo, Resnik 1987, [63] French 1988 [64] ).
Esto es inevitable porque los modelos de info-gap son matemáticos.
Modelos genéricos
El marco conceptual básico que proporciona la teoría clásica de decisiones para lidiar con la incertidumbre es el de un juego de dos jugadores. Los dos jugadores son el tomador de decisiones (DM) y la naturaleza, donde la naturaleza representa la incertidumbre. Más específicamente, Nature representa la actitud del DM hacia la incertidumbre y el riesgo.
Tenga en cuenta que se hace una clara distinción a este respecto entre un tomador de decisiones pesimista y un tomador de decisiones optimista , es decir, entre una actitud en el peor de los casos y una actitud en el mejor de los casos . Un tomador de decisiones pesimista asume que la naturaleza juega en su contra , mientras que un tomador de decisiones optimista asume que la naturaleza juega con él.
Para expresar matemáticamente estas nociones intuitivas, la teoría clásica de decisiones utiliza un modelo simple que consta de los siguientes tres constructos:
- Un conjunto que representa el espacio de decisión disponible para el DM.
- Un conjunto de conjuntos representando espacios estatales asociados con las decisiones en.
- Una función estipulando los resultados generados por los pares decisión-estado.
La función se llama función objetivo, función de pago, función de retorno, función de costo, etc.
El proceso de toma de decisiones (juego) definido por estos objetos consta de tres pasos:
- Paso 1: el DM selecciona una decisión.
- Paso 2: En respuesta, dado, La naturaleza selecciona un estado .
- Paso 3: el resultado se asigna a DM.
Tenga en cuenta que, a diferencia de los juegos considerados en la teoría de juegos clásica , aquí el primer jugador (DM) se mueve primero para que el segundo jugador (Naturaleza) sepa qué decisión fue seleccionada por el primer jugador antes de seleccionar su decisión. Por lo tanto, las complicaciones conceptuales y técnicas con respecto a la existencia del punto de equilibrio de Nash no son pertinentes aquí. La naturaleza no es un actor independiente, es un dispositivo conceptual que describe la actitud del DM hacia la incertidumbre y el riesgo.
A primera vista, la simplicidad de este marco puede parecer ingenuo. Sin embargo, como lo atestigua la variedad de casos específicos que abarca, es rico en posibilidades, flexible y versátil. Para los propósitos de esta discusión, es suficiente considerar la siguiente configuración genérica clásica:
dónde y representan los criterios de optimalidad del DM y de la Naturaleza, respectivamente, es decir, cada uno es igual a o .
Si entonces el juego es cooperativo, y sientonces el juego no es cooperativo. Así, este formato representa cuatro casos: dos juegos no cooperativos (Maximin y Minimax) y dos juegos cooperativos (Minimin y Maximax). Las respectivas formulaciones son las siguientes:
Cada caso está especificado por un par de criterios de optimalidad empleados por DM y Nature. Por ejemplo, Maximin describe una situación en la que DM se esfuerza por maximizar el resultado y la naturaleza se esfuerza por minimizarlo. De manera similar, el paradigma Minimin representa situaciones en las que tanto DM como la naturaleza se esfuerzan por minimizar el resultado.
De particular interés para esta discusión son los paradigmas Maximin y Minimin porque subsumen los modelos de robustez y oportunidad de info-gap, respectivamente. Entonces, aquí están:
Juego de Maximin:
- Paso 1: el DM selecciona una decisióncon miras a maximizar el resultado.
- Paso 2: En respuesta, dado, La naturaleza selecciona un estado en que minimiza encima .
- Paso 3: el resultado se asigna a DM.
Juego mínimo:
- Paso 1: el DM selecciona una decisióncon miras a minimizar el resultado.
- Paso 2: En respuesta, dado, La naturaleza selecciona un estado en que minimiza encima .
- Paso 3: el resultado se asigna a DM.
Con esto en mente, considere ahora los modelos de robustez y oportunidad de info-gap.
Modelo de robustez de info-gap
Desde un punto de vista clásico de la teoría de la decisión, el modelo de robustez de info-gap es un juego entre el DM y la naturaleza, donde el DM selecciona el valor de (apuntando a la mayor cantidad posible) mientras que la naturaleza selecciona el peor valor de en . En este contexto, el peor valor de perteneciente a un dado par es un que viola el requisito de desempeño . Esto se logra minimizando encima .
Hay varias formas de incorporar el objetivo del DM y la respuesta antagónica de la naturaleza en un solo resultado. Por ejemplo, se puede utilizar la siguiente función característica para este propósito:
Tenga en cuenta que, como desee, para cualquier triplete de interés tenemos
por lo tanto, desde el punto de vista del DM, satisfacer la restricción de desempeño es equivalente a maximizar .
En breve,
Maximin Robustness Game de Info-gap para tomar decisiones :
- Paso 1: El DM selecciona un horizonte de incertidumbrecon miras a maximizar el resultado.
- Paso 2: En respuesta, dado, La naturaleza selecciona un que minimiza encima .
- Paso 3: el resultado se asigna a DM.
Claramente, la alternativa óptima del DM es seleccionar el mayor valor de tal que lo peor satisface el requisito de rendimiento.
Teorema de Maximino
Como se muestra en Sniedovich (2007), [47] El modelo de robustez de Info-gap es un ejemplo simple del modelo maximin de Wald . Específicamente,
Modelo de oportunidad de info-gap
Del mismo modo, el modelo de oportunidad de info-gap es una instancia simple del modelo genérico Minimin. Es decir,
dónde
observando que, como se desee, para cualquier triplete de interés tenemos
por lo tanto, para un par dado , el DM satisfaría el requisito de desempeño minimizando el resultado encima . El comportamiento de la naturaleza es un reflejo de su actitud comprensiva aquí.
Observación: Esta actitud ante el riesgo y la incertidumbre que supone que la naturaleza jugará con nosotros, es bastante ingenua. Como señala Resnik (1987, p. 32 [63] ) "... Pero esa regla seguramente tendría poca adherencia ...". Sin embargo, se utiliza a menudo en combinación con la Maximin regla en la formulación de Hurwicz 's optimismo-pessimisim regla (Resnik 1987, [63] francesa 1988 [64] ) con el fin de mitigar el conservadurismo extremo de Maximin .
Formulaciones de programación matemática
Para resaltar con más fuerza que el modelo de robustez de info-gap es una instancia del modelo genérico de Maximin , y el modelo de oportunidad de info-gap es una instancia del modelo genérico de Minimin, es instructivo examinar los formatos equivalentes de programación matemática (MP) de estos modelos genéricos (Ecker y Kupferschmid, [71] 1988, págs. 24-25; Thie 1988 [72] págs. 314-317; Kouvelis y Yu, [59] 1997, pág. 27):
Así, en el caso de info-gap tenemos
Para verificar la equivalencia entre los formatos de info-gap y los respectivos formatos de teoría de decisión, recuerde que, por construcción, para cualquier triplete de interés tenemos
Esto significa que en el caso de la robustez / Maximin , una naturaleza antagónica minimizará (efectivamente) minimizando mientras que en el caso de oportunidad / Minimin, una naturaleza comprensiva maximizará (efectivamente) minimizando .
Resumen
El análisis de robustez de Info-gap estipula que dado un par , el peor elemento dese realiza. Este, por supuesto, es un análisis típico de Maximin . En el lenguaje de la teoría clásica de la decisión :
La solidez de la decisiónes el mayor horizonte de incertidumbre,, de modo que el peor valor de en satisface el requisito de rendimiento .
De manera similar, el análisis de oportunidad de info-gap estipula que dado un par , el mejor elemento dese realiza. Por supuesto, este es un análisis de Minimin típico. En el lenguaje de la teoría clásica de la decisión :
La oportunidad de la decisiónes el horizonte más pequeño de incertidumbre,, de modo que el mejor valor de en satisface el requisito de rendimiento .
Las transliteraciones matemáticas de estos conceptos son sencillas, lo que da como resultado modelos típicos de Maximin / Minimin, respectivamente.
Lejos de ser restrictiva, la estructura ajustada de los modelos genéricos Maximin / Minimin es una bendición disfrazada. El punto principal aquí es que el carácter abstracto de los tres constructos básicos de los modelos genéricos
- Decisión
- Expresar
- Salir
en efecto, permite una gran flexibilidad en el modelado.
Por lo tanto, se requiere un análisis más detallado para resaltar toda la fuerza de la relación entre la brecha de información y los modelos teóricos de decisión clásicos genéricos. Consulte las #Notas sobre el arte del modelado matemático .
Búsqueda del tesoro
El siguiente es un resumen pictórico de la discusión de Sniedovich (2007) sobre robustez local vs global. Con fines ilustrativos, se presenta aquí como una búsqueda del tesoro. Muestra cómo los elementos del modelo de robustez de info-gap se relacionan entre sí y cómo se trata la incertidumbre severa en el modelo.
(1) Estás a cargo de una búsqueda del tesoro en un pequeño continente en algún lugar de la región de Asia / Pacífico. Consulta un portafolio de estrategias de búsqueda. Debe decidir qué estrategia sería la mejor para esta expedición en particular. | (2) La dificultad es que se desconoce la ubicación exacta del tesoro en el continente. Existe una gran brecha entre lo que necesita saber, la verdadera ubicación del tesoro, y lo que realmente sabe, una estimación deficiente de la ubicación real. | (3) De alguna manera calculas una estimación de la verdadera ubicación del tesoro. Dado que estamos tratando aquí con una gran incertidumbre, asumimos —en términos metodológicos— que esta estimación es una mala indicación de la ubicación real y es probable que sea sustancialmente errónea. | |||
(4) Para determinar la solidez de una estrategia determinada, se realiza un análisis local del peor de los casos en las inmediaciones de la estimación deficiente. Específicamente, calcula la mayor desviación segura de la estimación deficiente que no infringe el requisito de rendimiento. | (5) Calcula la solidez de cada estrategia de búsqueda en su cartera y selecciona aquella cuya solidez es mayor. | (6) Para recordarse a sí mismo ya los patrocinadores financieros de la expedición que este análisis está sujeto a una gran incertidumbre en la ubicación real del tesoro, es importante, metodológicamente hablando, mostrar la ubicación real en el mapa. Por supuesto, no conoce la verdadera ubicación. Pero dada la gravedad de la incertidumbre, la coloca a cierta distancia de la estimación deficiente. Cuanto más severa sea la incertidumbre, mayor debería ser la distancia (brecha) entre la ubicación real y la estimación. | |||
Epílogo: Según Sniedovich (2007), este es un recordatorio importante del tema central en la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre severa. La estimación que tenemos es una mala indicación del valor real del parámetro de interés y es probable que sea sustancialmente incorrecta. Por lo tanto, en el caso de la brecha de información, es importante mostrar la brecha en el mapa mostrando el valor real de en algún lugar de la región de la incertidumbre. El pequeño rojo representa la verdadera (desconocida) ubicación del tesoro. |
En resumen:
El modelo de robustez de Info-gap es una representación matemática de un análisis local del peor de los casos en el entorno de una estimación determinada del valor real del parámetro de interés. En condiciones de gran incertidumbre, se supone que la estimación es una mala indicación del valor real del parámetro y es probable que sea sustancialmente errónea.
Por tanto, la pregunta fundamental es: Dada la
- Severidad de la incertidumbre
- Carácter local del análisis
- Mala calidad de la estimación
¿Cuán significativos y útiles son los resultados generados por el análisis y cuán sólida es la metodología en su conjunto?
Se puede encontrar más sobre esta crítica en el sitio web de Sniedovich.
Notas sobre el arte del modelado matemático
Restricción satisfactoria vs optimización de pagos
Cualquier problema satisfactorio puede formularse como un problema de optimización. Para ver que esto es así, sea la función objetivo del problema de optimización la función indicadora de las restricciones que pertenecen al problema satisfactorio. Por lo tanto, si nuestra preocupación es identificar un escenario del peor de los casos perteneciente a una restricción, esto se puede hacer mediante un análisis adecuado del peor de los casos Maximin / Minimax de la función del indicador de la restricción.
Esto significa que los modelos genéricos de la teoría de la decisión pueden manejar los resultados que son inducidos por las restricciones que satisfacen los requisitos en lugar de, por ejemplo, la maximización de los beneficios.
En particular, tenga en cuenta la equivalencia
dónde
y por lo tanto
En términos prácticos, esto significa que una Naturaleza antagónica apuntará a seleccionar un estado que viole la restricción, mientras que una Naturaleza comprensiva apuntará a seleccionar un estado que satisfaga la restricción. En cuanto al resultado, la penalización por violar la restricción es tal que el tomador de decisiones se abstendrá de seleccionar una decisión que permita a la Naturaleza violar la restricción dentro del espacio de estado correspondiente a la decisión seleccionada.
El papel de "min" y "max"
Cabe destacar que la característica según el modelo de robustez de info-gap su carácter típico de Maximin no es la presencia de ambos y en la formulación del modelo info-gap. Más bien, la razón de esto es más profunda. Va al corazón del marco conceptual que captura el modelo de Maximin : la naturaleza jugando contra el DM. Esto es lo crucial aquí.
Para ver que esto es así, generalicemos el modelo de robustez de info-gap y consideremos el siguiente modelo modificado en su lugar:
donde en este contexto es un conjunto y hay alguna función en . Tenga en cuenta que no se asume quees una función de valor real. También tenga en cuenta que "min" está ausente en este modelo.
Todo lo que necesitamos hacer para incorporar un mínimo en este modelo es expresar la restricción
como requisito para el peor de los casos. Esta es una tarea sencilla, observando que para cualquier triplete de interés tenemos
dónde
por eso,
que, por supuesto, es un modelo de Maximin a la Programación Matemática.
En breve,
Tenga en cuenta que, aunque el modelo de la izquierda no incluye un "min" explícito, es un modelo típico de Maximin. La característica que lo convierte en un modelo de Maximin es el requisito que se presta a una formulación e interpretación intuitiva del peor de los casos.
De hecho, la presencia de un doble "máximo" en un modelo de robustez de la brecha de información no altera necesariamente el hecho de que este modelo es un modelo de Maximin . Por ejemplo, considere el modelo de robustez
Esta es una instancia del siguiente modelo de Maximin
dónde
El "mínimo interno" indica que la naturaleza juega contra el DM, el jugador "máximo", por lo que el modelo es un modelo de robustez.
La naturaleza de la conexión info-gap / maximin / minimin
Este problema modelado se discute aquí porque reclamaciones se han hecho que a pesar de que existe una estrecha relación entre los modelos de robustez y oportunidad de información-Gap y de la genérica maximin y modelos Minimin, respectivamente, la descripción de info-hueco como una instancia de estos modelos es demasiado fuerte. El argumento esgrimido es que si bien es cierto que el modelo de robustez de info-gap puede expresarse como un modelo maximin , el primero no es una instancia del segundo.
Esta objeción aparentemente se deriva del hecho de que cualquier problema de optimización puede formularse como un modelo maximin mediante el simple empleo de variables ficticias . Es decir, claramente
dónde
para cualquier conjunto arbitrario no vacío .
El punto de esta objeción parece ser que corremos el riesgo de diluir el significado del término instancia si, por lo tanto, sostenemos que cualquier problema de minimización es una instancia del modelo maximin .
Por lo tanto, debe señalarse que esta preocupación es totalmente injustificada en el caso de la relación info-gap / maximin / minimin. La correspondencia entre el modelo de robustez de info-gap y el modelo genérico de maximin no está ideada ni se formula con la ayuda de objetos ficticios. La correspondencia es inmediata, intuitiva y convincente, por lo que se describe acertadamente con el término instancia de .
Específicamente, como se muestra arriba, el modelo de robustez de info-gap es una instancia del modelo maximin genérico especificado por las siguientes construcciones:
Además, aquellos que se oponen al uso del término instancia de deben tener en cuenta que el modelo de Maximin formulado anteriormente tiene una formulación equivalente denominada Programación Matemática (MP) que se deriva del hecho de que
dónde denota la línea real.
Así que aquí están lado a lado el modelo de robustez de info-gap y las dos formulaciones equivalentes del paradigma genérico de maximin :
Tenga en cuenta que la equivalencia entre estas tres representaciones de la misma situación de toma de decisiones no utiliza variables ficticias. Se basa en la equivalencia
derivado directamente de la definición de la función característica .
Entonces, claramente, el modelo de robustez de info-gap es una instancia del modelo genérico de maximin .
Del mismo modo, para el modelo de oportunidad de info-gap tenemos
Una vez más, se debe enfatizar que la equivalencia entre estas tres representaciones de la misma situación de toma de decisiones no hace uso de variables ficticias. Se basa en la equivalencia
derivado directamente de la definición de la función característica .
Por lo tanto, para "ayudar" al DM a minimizar , una naturaleza comprensiva seleccionará un que minimiza encima .
Claramente, el modelo de oportunidad de info-gap es una instancia del modelo genérico de minimin.
Otras formulaciones
Por supuesto, existen otras representaciones válidas de los modelos de robustez / oportunidad. Por ejemplo, en el caso del modelo de robustez, los resultados se pueden definir de la siguiente manera (Sniedovich 2007 [70] ):
donde la operación binaria se define de la siguiente manera:
El formato MP correspondiente del modelo Maximin sería el siguiente:
En palabras, para maximizar la robustez, el DM selecciona el mayor valor de tal que la restricción de rendimiento está satisfecho por todos . En lenguaje sencillo: el DM selecciona el mayor valor de cuyo peor resultado en la región de la incertidumbre de tamaño satisface el requisito de rendimiento.
Simplificaciones
Como regla general, las formulaciones clásicas de Maximin no son particularmente útiles cuando se trata de resolver los problemas que representan, ya que no se dispone de un solucionador de Maximin de "propósito general" (Rustem y Howe 2002 [60] ).
Por lo tanto, es una práctica común simplificar la formulación clásica con miras a derivar una formulación que sea fácilmente susceptible de solución. Esta es una tarea específica de un problema que implica explotar las características específicas de un problema. El formato de programación matemática de Maximin suele ser más fácil de usar en este sentido.
El mejor ejemplo es, por supuesto, el modelo clásico de Maximin de juegos de suma cero de 2 personas, que después de la simplificación se reduce a un modelo de programación lineal estándar (Thie 1988, [72] págs. 314-317) que se resuelve fácilmente mediante algoritmos de programación lineal. .
Para reiterar, este modelo de programación lineal es una instancia del modelo genérico de Maximin obtenido mediante la simplificación de la formulación clásica de Maximin del juego de suma cero de 2 personas .
Otro ejemplo es la programación dinámica donde el paradigma de Maximin se incorpora en la ecuación funcional de programación dinámica que representa procesos de decisión secuenciales que están sujetos a una incertidumbre severa (por ejemplo, Sniedovich 2003 [73] [74] ).
Resumen
Recuerde que, en lenguaje sencillo, el paradigma de Maximin mantiene lo siguiente:
Regla de Maximin La regla de maximin nos dice que clasifiquemos las alternativas según sus peores resultados posibles: debemos adoptar la alternativa cuyo peor resultado sea superior al peor resultado de los demás.
Rawls (1971, pág.152)
El modelo de robustez de Info-gap es una instancia simple de este paradigma que se caracteriza por un espacio de decisión específico, espacios de estado y función objetiva, como se discutió anteriormente.
Se puede ganar mucho viendo la teoría de info-gap bajo esta luz.
Ver también
- Estimación bayesiana
- Inferencia bayesiana
- Probabilidad bayesiana
- Análisis de decisión
- Teoría de la decisión
- Modelo jerárquico de Bayes
- Lista de publicaciones en estadística
- Cadena de Markov Monte Carlo
- Toma de decisiones sólida
- Optimización robusta
- Estadísticas sólidas
- Análisis de sensibilidad
- Radio de estabilidad
Notas
- ^ Aquí hay algunos ejemplos: En muchos campos, incluidos la ingeniería , la economía , la gestión , la conservación biológica , la medicina , la seguridad nacional y más, los analistas utilizan modelos y datos para evaluar y formular decisiones . Una brecha de información es la disparidad entre lo que se sabe y lo que se necesita saber para tomar una decisión confiable y responsable. Las brechas de información son incertidumbres de Knight : una falta de conocimiento, una comprensión incompleta. Las brechas de información no son probabilísticas y no se pueden asegurar ni modelar probabilísticamente . Una brecha de información común, aunque no es la única, es la incertidumbre en el valor de un parámetro o de un vector de parámetros, como la durabilidad de un nuevo material o las tasas futuras o el rendimiento de las existencias. Otra brecha de información común es la incertidumbre en forma de distribución de probabilidad . Otra brecha de información es la incertidumbre en la forma funcional de una propiedad del sistema, como lafuerza de fricción en ingeniería o la curva de Phillips en economía. Otra brecha de información está en la forma y el tamaño de un conjunto de posibles vectores o funciones. Por ejemplo, uno puede tener muy poco conocimiento sobre el conjunto relevante de formas de onda cardíaca al inicio de la insuficiencia cardíaca en un individuo específico.
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enlaces externos
- Teoría de la brecha de información y sus aplicaciones , más información sobre la teoría de la brecha de información
- ¿Qué es la teoría de la brecha de información? introducción informal
- Toma de decisiones responsables (cuando parece que no puede): diseño de ingeniería y planificación estratégica en condiciones de gran incertidumbre
- ¿Cómo comenzó la teoría de la brecha de información? ¿Cómo crece?
- Preguntas frecuentes sobre la teoría de la brecha de información
- Campaña Info-Gap , análisis adicional y crítica de info-gap
- Preguntas frecuentes sobre la teoría de decisiones de la brecha de información ( PDF )