En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y / o codominio tendrá una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la suma puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio de funciones puede heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre espacio de funciones .
En álgebra lineal
Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea X cualquier conjunto. A las funciones X → V se les puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen puntualmente, es decir, para cualquier f , g : X → V , cualquier x en X y cualquier c en F , defina
Ejemplos de
Los espacios funcionales aparecen en varias áreas de las matemáticas:
- En la teoría de conjuntos , el conjunto de funciones de X a Y puede denotarse X → Y o Y X .
- Como caso especial, el conjunto potencia de un conjunto X puede ser identificado con el conjunto de todas las funciones de X a {0, 1}, denotado 2 X .
- El conjunto de biyecciones de X a Y se denota. La notación factorial X ! puede ser utilizado para permutaciones de un solo conjunto X .
- En el análisis funcional, se observa lo mismo para las transformaciones lineales continuas , incluidas las topologías en los espacios vectoriales de arriba, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales que llevan una topología ; los ejemplos más conocidos incluyen los espacios de Hilbert y los espacios de Banach .
- En el análisis funcional, el conjunto de todas las funciones, desde los números naturales hasta algún conjunto X, se denomina espacio de secuencia . Consiste en el conjunto de todas las posibles secuencias de elementos de X .
- En topología , se puede intentar poner una topología en el espacio de funciones continuas desde un espacio topológico X a otro Y , con utilidad dependiendo de la naturaleza de los espacios. Un ejemplo comúnmente utilizado es la topología compacta-abierta , por ejemplo, espacio de bucle . También está disponible la topología del producto en el espacio de conjunto de funciones teóricas (funciones es decir, no necesariamente continuas) Y X . En este contexto, esta topología también se denomina topología de convergencia puntual .
- En topología algebraica , el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de invariantes discretos de espacios funcionales;
- En la teoría de los procesos estocásticos , el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio funcional de caminos del proceso (funciones del tiempo);
- En la teoría de categorías, el espacio funcional se denomina objeto exponencial o objeto de mapa . Aparece de una manera como la representación canónica bifunctor ; pero como (único) funtor, de tipo [ X , -], aparece como un funtor adjunto a un funtor de tipo (- × X ) en objetos;
- En programación funcional y cálculo lambda , los tipos de función se utilizan para expresar la idea de funciones de orden superior .
- En la teoría de dominios , la idea básica es encontrar construcciones a partir de órdenes parciales que puedan modelar el cálculo lambda, creando una categoría cerrada cartesiana de buen comportamiento .
- En la teoría de la representación de grupos finitos , dadas dos representaciones de dimensión finita V y W de un grupo G , se puede formar una representación de G sobre el espacio vectorial de mapas lineales Hom ( V , W ) llamada representación de Hom . [1]
Análisis funcional
El análisis funcional se organiza en torno a técnicas adecuadas para poner los espacios funcionales como espacios vectoriales topológicos al alcance de las ideas que se aplicarían a los espacios normativos de dimensión finita. Aquí usamos la línea real como dominio de ejemplo, pero los espacios a continuación existen en subconjuntos abiertos adecuados
- funciones continuas dotadas de la topología de norma uniforme
- funciones continuas con soporte compacto
- funciones limitadas
- funciones continuas que se desvanecen en el infinito
- funciones continuas que tienen primeras r derivadas continuas.
- funciones suaves
- funciones suaves con soporte compacto
- funciones analíticas reales
- , por , es el espacio L p de funciones medibles cuya p -norm es finito
- , el espacio de Schwartz de funciones suaves que disminuyen rápidamente y su dual continuo, distribuciones templadas
- soporte compacto en topología límite
- Espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas débiles hasta el orden k están en
- funciones holomorfas
- funciones lineales
- funciones lineales por partes
- funciones continuas, topología abierta compacta
- todas las funciones, espacio de convergencia puntual
- Espacio resistente
- Espacio Hölder
- Funciones de Càdlàg , también conocido como el espacio Skorokhod
- , el espacio de todas las funciones de Lipschitz en que se desvanecen en cero.
Norma
Si y es un elemento del espacio funcionalde todas las funciones continuas que se definen en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma definido en es el valor absoluto máximo de y ( x ) para a ≤ x ≤ b , [2]
se llama norma uniforme o norma suprema ('norma supra').
Bibliografía
- Kolmogorov, AN y Fomin, SV (1967). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Publicaciones de Courier Dover.
- Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Análisis funcional: introducción a otros temas de análisis. Prensa de la Universidad de Princeton.
Ver también
- Lista de funciones matemáticas
- Álgebra de Clifford
- Campo tensor
- Teoría espectral
- Determinante funcional
Notas al pie
- ^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Springer Science & Business Media. pag. 4. ISBN 9780387974958.
- ^ Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (Repr. Ed. Íntegra). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 6. ISBN 978-0486414485.