El lema de Stein , [1] nombrado en honor a Charles Stein , es un teorema de la teoría de la probabilidad que es de interés principalmente debido a sus aplicaciones a la inferencia estadística , en particular, a la estimación de James-Stein y a los métodos empíricos de Bayes , y sus aplicaciones a la cartera. teoría de la elección . El teorema da una fórmula para la covarianza de una variable aleatoria con el valor de una función de otra, cuando las dos variables aleatorias se distribuyen conjuntamente normalmente .
Declaración del lema
Suponga que X es una variable aleatoria distribuida normalmente con expectativa μ y varianza σ 2 . Además, suponga que g es una función para la que existen las dos expectativas E ( g ( X ) ( X - μ)) y E ( g ′ ( X )). (La existencia de la expectativa de cualquier variable aleatoria es equivalente a la finitud de la expectativa de su valor absoluto ). Entonces
En general, suponga que X e Y se distribuyen normalmente de forma conjunta. Luego
Prueba
La función de densidad de probabilidad univariante para la distribución normal univariante con expectativa 0 y varianza 1 es
y la densidad para una distribución normal con expectativa μ y varianza σ 2 es
Luego use la integración por partes .
Declaración más general
Suponga que X está en una familia exponencial , es decir, X tiene la densidad
Supongamos que esta densidad tiene soporte dónde podría ser y como , dónde es cualquier función diferenciable tal que o Si finito. Luego
La derivación es la misma que en el caso especial, es decir, integración por partes.
Si tan solo supiéramos tiene apoyo , entonces podría darse el caso de que pero . Para ver esto, simplemente ponga y con puntas infinitas hacia el infinito pero aún integrable. Uno de esos ejemplos podría adaptarse de así que eso es suave.
También existen extensiones a distribuciones de contorno elíptico. [2] [3]
Ver también
Referencias
- ^ Ingersoll, J., Teoría de la toma de decisiones financieras , Rowman y Littlefield, 1987: 13-14.
- ^ Hamada, Mahmoud; Valdez, Emiliano A. (2008). "CAPM y fijación de precios de opciones con distribuciones contorneadas elípticamente". La Revista de Riesgos y Seguros . 75 (2): 387–409. CiteSeerX 10.1.1.573.4715 . doi : 10.1111 / j.1539-6975.2008.00265.x .
- ^ Landsman, Zinoviy; Nešlehová, Johanna (2008). "Lema de Stein para vectores aleatorios elípticos". Revista de análisis multivariante . 99 (5): 912––927. doi : 10.1016 / j.jmva.2007.05.006 .