En geometría algebraica, la factorización de Stein , introducida por Karl Stein ( 1956 ) para el caso de espacios complejos, establece que un morfismo adecuado puede factorizarse como una composición de un mapeo finito y un morfismo adecuado con fibras conectadas. En términos generales, la factorización de Stein contrae los componentes conectados de las fibras de un mapeo a puntos.
Declaración
Una versión para esquemas establece lo siguiente :( EGA , III.4.3.1)
Sea X un esquema , S un esquema localmente noetheriano yun morfismo adecuado . Entonces uno puede escribir
dónde es un morfismo finito y es un morfismo adecuado para que
La existencia de esta descomposición en sí no es difícil. Vea abajo. Pero, según el teorema de conexión de Zariski , la última parte de lo anterior dice que la fibra está conectado para cualquier . Sigue:
Corolario : para cualquier, el conjunto de componentes conectados de la fibra está en biyección con el conjunto de puntos de la fibra .
Prueba
Colocar:
donde Spec S es la especificación relativa . La construcción da el mapa natural., que es finito ya que es coherente y f es adecuada. El morfismo f se factores a través de gy uno obtiene, lo cual es correcto. Por construcción,. Luego se usa el teorema de las funciones formales para mostrar que la última igualdad implicatiene fibras conectadas. (Esta parte a veces se denomina teorema de conexión de Zariski).
Ver también
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Stein, Karl (1956), "Analytische Zerlegungen komplexer Räume", Mathematische Annalen , 132 : 63–93, doi : 10.1007 / BF01343331 , ISSN 0025-5831 , MR 0083045