En geometría algebraica , el teorema de funciones formales establece lo siguiente: [1]
- Dejar ser un morfismo apropiado de esquemas noetherianos con una gavilla coherente en X . Dejar ser un subesquema cerrado de S definido por y terminaciones formales con respecto a y . Entonces para cada el mapa canónico (continuo):
- es un isomorfismo de (topológico) -módulos, donde
- El término de la izquierda es .
- El mapa canónico es el que se obtiene por pasaje al límite.
El teorema se utiliza para deducir algunos otros teoremas importantes: la factorización de Stein y una versión del teorema principal de Zariski que dice que un morfismo biracional adecuado en una variedad normal es un isomorfismo. Algunos otros corolarios (con las notaciones anteriores) son:
Corolario : [2] Para cualquier, topológicamente,
donde la terminación de la izquierda está con respecto a .
Corolario : [3] Sea r tal que para todos . Luego
Corollay : [4] Para cada, Existe un entorno abierto U de s de tal manera que
Corolario : [5] Si, luego está conectado para todos .
El teorema también conduce al teorema de existencia de Grothendieck , que da una equivalencia entre la categoría de haces coherentes en un esquema y la categoría de haces coherentes en su terminación formal (en particular, produce algebralizabilidad).
Finalmente, es posible debilitar la hipótesis en el teorema; cf. Illusie. Según Illusie (pág. 204), la prueba dada en EGA III se debe a Serre. La prueba original (debida a Grothendieck) nunca se publicó.
La construcción del mapa canónico
Deje que el escenario sea como en el lede. En la prueba se utiliza la siguiente definición alternativa del mapa canónico.
Dejar sean los mapas canónicos. Entonces tenemos el mapa de cambio de base de-módulos
- .
dónde es inducido por . Desde es coherente, podemos identificar con . Desdetambién es coherente (como f es propia), haciendo la misma identificación, lo anterior dice:
- .
Utilizando dónde y , también se obtiene (después de pasar al límite):
dónde son como antes. Se puede verificar que la composición de los dos mapas es el mismo mapa en el lede. (cf. EGA III-1, sección 4)
Notas
- ^ EGA III-1 , 4.1.5
- ^ EGA III-1 , 4.2.1
- ^ Hartshorne , cap. III. Corolario 11.2
- ^ El mismo argumento que en el corolario anterior
- ^ Hartshorne , cap. III. Corolario 11.3
Referencias
- Luc Illusie , Temas de geometría algebraica
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157