Teorema de dilatación de Stinespring

En matemáticas , el teorema de dilatación de Stinespring , también llamado teorema de factorización de Stinespring , llamado así por W. Forrest Stinespring , es un resultado de la teoría del operador que representa cualquier mapa completamente positivo en un álgebra C* como una composición de dos mapas completamente positivos, cada uno de los cuales tiene una forma especial:

Además, el teorema de Stinespring es un teorema de estructura de un álgebra C* en el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Se muestra que los mapas completamente positivos son simples modificaciones de las representaciones *, o a veces llamados *-homomorfismos .

Informalmente, se puede decir que todo mapa completamente positivo puede ser " elevado " a un mapa de la forma . ${\ estilo de visualización \ Phi}$ $V^{*}(\cdot)V$

El recíproco del teorema es cierto trivialmente. Entonces, el resultado de Stinespring clasifica mapas completamente positivos.

Ahora esbocemos brevemente la prueba. deja _ Para , definir $K=A\oveces H$ $a\otimes h,\b\otimes g\in K$

y se extiende por semilinealidad a todo K . Esta es una forma sesquilineal hermítica porque es compatible con la operación *. La positividad completa de se usa entonces para mostrar que esta forma sesquilineal es de hecho semidefinida positiva. Dado que las formas sesquilineales hermitianas semidefinidas positivas satisfacen la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el subconjunto ${\ estilo de visualización \ Phi}$ ${\ estilo de visualización \ Phi}$