En matemáticas , en particular en la teoría de categorías , la propiedad de elevación es una propiedad de un par de morfismos en una categoría . Se utiliza en la teoría de la homotopía dentro de la topología algebraica para definir las propiedades de los morfismos a partir de una clase de morfismos dada explícitamente. Aparece de manera prominente en la teoría de categorías modelo , un marco axiomático para la teoría de la homotopía introducido por Daniel Quillen . También se utiliza en la definición de un sistema de factorización y de un sistema de factorización débil., nociones relacionadas pero menos restrictivas que la noción de categoría modelo. También se pueden expresar varias nociones elementales utilizando la propiedad de elevación a partir de una lista de (contra) ejemplos.
Un morfismo i en una categoría tiene la propiedad de elevación izquierda con respecto a un morfismo p , y p también tiene la propiedad de elevación derecha con respecto a i , a veces denotado
o
, si si se cumple la siguiente implicación para cada morfismo f y g en la categoría:
- si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, entonces existe h completando el diagrama, es decir, para cada
y
tal que
existe
tal que
y
.
![Model category lifting.png](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto también se conoce a veces como que el morfismo i es ortogonal al morfismo p ; sin embargo, esto también puede referirse a la propiedad más fuerte de que siempre que f y g son como arriba, el morfismo diagonal h existe y también se requiere que sea único.
Para una clase C de morfismos en una categoría, su ortogonal izquierda
o
con respecto a la propiedad de elevación, respectivamente su ortogonal derecha
o
, Es la clase de todos los morfismos que han la izquierda, respectivamente a la derecha, el levantamiento de propiedad con respecto a cada morfismo en la clase C . En notación,
![{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp \ell }&:=\{i\mid \forall p\in C,i\perp p\}\\C^{\perp r}&:=\{p\mid \forall i\in C,i\perp p\}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tomar la ortogonal de una clase C es una forma sencilla de definir una clase de morfismos que excluyen los no isomorfismos de C , de una manera que es útil en un diagrama que persigue el cálculo.
Así, en la categoría Conjunto de conjuntos , la ortogonal derecha
de la no sobreyección más simple
es la clase de sobreyecciones. Las ortogonales izquierda y derecha de
la no inyección más simple , son precisamente la clase de inyecciones,
![{\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ is an injection }}\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Está claro que
y
. La clase
siempre es cerrado bajo retrae, pullbacks , (pequeñas) productos (siempre que existan en la categoría) y la composición de morfismos, y contiene todos los isomorfismos de C. Mientras tanto,
está cerrado bajo retracciones, empujones , (pequeños) coproductos y composición transfinita ( colimits filtrados ) de morfismos (siempre que existan en la categoría), y también contiene todos los isomorfismos.
Se pueden definir varias nociones pasando varias veces a la ortogonal izquierda o derecha a partir de una lista de ejemplos explícitos, es decir, como
, dónde
es una clase que consta de varios morfismos dados explícitamente. Una intuición útil es pensar que la propiedad de levantar por la izquierda contra una clase C es una especie de negación de la propiedad de estar en C , y que levantar por la derecha es también una especie de negación. De ahí las clases obtenidas de C tomando ortogonales un número impar de veces, como
etc., representan varios tipos de negación de C , por lo que
cada uno consta de morfismos que están lejos de tener propiedad
.
Ejemplos de propiedades de elevación en topología algebraica
Un mapa
tiene la propiedad de elevación del camino si
dónde
es la inclusión de un punto final del intervalo cerrado en el intervalo
.
Un mapa
tiene la propiedad de elevación de homotopía iff
dónde
es el mapa
.
Ejemplos de propiedades de elevación procedentes de categorías de modelos
Fibraciones y cofibraciones.
- Sea Top la categoría de espacios topológicos y deje
ser la clase de mapas
, incrustaciones del límite
de una pelota en la pelota
. Dejar
ser la clase de mapas que incrustan la semiesfera superior en el disco.
son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. [1]
- Sea sSet la categoría de conjuntos simples . Dejar
ser la clase de inclusiones de límites
, y deja
ser la clase de inclusiones de cuerno
. Entonces las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones son, respectivamente,
. [2]
![{\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- y
ser ![{\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Luego
son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. [3]
Ejemplos elementales en varias categorías
En conjunto ,
es la clase de sobreyecciones,
es la clase de inyecciones.
En la categoría R - Mod de módulos sobre un anillo conmutativo R ,
es la clase de sobreyecciones, resp. inyecciones,
- Un módulo M es proyectivo , resp. inyectivo , iff
es en
, resp.
es en
.
En la categoría Grupo de grupos ,
, resp.
, es la clase de inyecciones, resp. sobreyecciones (donde
denota el grupo cíclico infinito ),
- Un grupo F es un grupo libre si
es en ![{\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r\ell },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un grupo A está libre de torsión si
es en ![{\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un subgrupo A de B es puro si
es en ![{\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para un grupo finito G ,
si el orden de G es primo ap ,
si y sólo si G es un p -group ,
- H es nilpotente si el mapa diagonal
es en
dónde
denota la clase de mapas ![{\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- un grupo finito H es soluble si
es en ![{\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En la categoría Top de espacios topológicos, deje
, resp.
denotar lo discreto , resp. espacio antidiscreto con dos puntos 0 y 1. Sea
denotar el espacio de Sierpinski de dos puntos donde el punto 0 está abierto y el punto 1 está cerrado, y sea
etc. denotan las incrustaciones obvias.
- un espacio X satisface el axioma de separación T 0 sif
es en ![{\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- un espacio X satisface el axioma de separación T 1 sif
es en ![{\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la clase de mapas con imagen densa ,
es la clase de mapas
tal que la topología en A es el retroceso de la topología en B , es decir, la topología en A es la topología con el menor número de conjuntos abiertos, de modo que el mapa es continuo ,
es la clase de mapas sobreyectivos,
es la clase de mapas de forma
donde D es discreto,
es la clase de mapas
tal que cada componente conectado de B se interseca
,
es la clase de mapas inyectivos,
es la clase de mapas
tal que la preimagen de un subconjunto abierto cerrado conectado de Y es un subconjunto abierto cerrado conectado de X , por ejemplo, X está conectado si
es en
,
- para un espacio conectado X, cada función continua en X está acotada si
dónde
es el mapa de la unión disjunta de intervalos abiertos
en la línea real ![{\displaystyle \mathbb {R} ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- un espacio X es Hausdorff iff para cualquier mapa inyectivo
, se mantiene
dónde
denota el espacio de tres puntos con dos puntos abiertos un y b , y un punto cerrado x ,
- un espacio X es perfectamente normal si
donde el intervalo abierto
va ax , y
mapas al punto
, y
mapas al punto
, y
denota el espacio de tres puntos con dos puntos cerrados
y un punto abierto x .
En la categoría de espacios métricos con mapas uniformemente continuos .
- Un espacio X está completo si
dónde
es la inclusión obvia entre los dos subespacios de la línea real con métrica inducida, y
es el espacio métrico que consta de un solo punto,
- Un subespacio
está cerrado si ![{\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)