Una ecuación diferencial estocástica ( SDE ) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico , lo que da como resultado una solución que también es un proceso estocástico. Los SDE se utilizan para modelar diversos fenómenos, como precios de acciones inestables o sistemas físicos sujetos a fluctuaciones térmicas . Normalmente, los SDE contienen una variable que representa el ruido blanco aleatorio calculado como la derivada del movimiento browniano o el proceso de Wiener . Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como los procesos de salto .Las ecuaciones diferenciales aleatorias son conjugadas con las ecuaciones diferenciales estocásticas. [1]
Las ecuaciones diferenciales estocásticas se originaron en la teoría del movimiento browniano , en el trabajo de Albert Einstein y Smoluchowski . Estos primeros ejemplos fueron ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, también llamadas ecuaciones de 'Langevin' en honor al físico francés Langevin , que describen el movimiento de un oscilador armónico sujeto a una fuerza aleatoria. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló en la década de 1940 a través del innovador trabajo del matemático japonés Kiyosi Itô , quien introdujo el concepto de integral estocástica e inició el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. Otro enfoque fue propuesto más tarde por el físico rusoStratonovich , lo que lleva a un cálculo similar al cálculo ordinario.
La forma más común de SDE en la literatura es una ecuación diferencial ordinaria con el lado derecho perturbado por un término dependiente de una variable de ruido blanco . En la mayoría de los casos, las SDE se entienden como un límite de tiempo continuo de las correspondientes ecuaciones en diferencias estocásticas . Esta comprensión de SDE es ambigua y debe complementarse con una definición matemática adecuada de la integral correspondiente. Tal definición matemática fue propuesta por primera vez por Kiyosi Itô en la década de 1940, dando lugar a lo que hoy se conoce como el cálculo de Itô . Más tarde, el físico ruso Stratonovich propuso otra construcción , lo que llevó a lo que se conoce como la integral de Stratonovich .. La integral de Itô y la integral de Stratonovich son objetos relacionados, pero diferentes, y la elección entre ellos depende de la aplicación considerada. El cálculo de Itô se basa en el concepto de no anticipación o causalidad, lo cual es natural en aplicaciones donde la variable es el tiempo. El cálculo de Stratonovich, por otro lado, tiene reglas que se asemejan al cálculo ordinario y tiene propiedades geométricas intrínsecas que lo hacen más natural cuando se trata de problemas geométricos como el movimiento aleatorio en variedades .
Una visión alternativa de SDE es el flujo estocástico de difeomorfismos. Esta comprensión es inequívoca y corresponde a la versión de Stratonovich del límite de tiempo continuo de las ecuaciones en diferencias estocásticas. Asociada con SDE está la ecuación de Smoluchowski o la ecuación de Fokker-Planck , una ecuación que describe la evolución temporal de las funciones de distribución de probabilidad . La generalización de la evolución de Fokker-Planck a la evolución temporal de formas diferenciales la proporciona el concepto de operador de evolución estocástica .
En la ciencia física, existe una ambigüedad en el uso del término "Langevin SDE" . Si bien los SDE de Langevin pueden tener una forma más general , este término generalmente se refiere a una clase limitada de SDE con campos de vectores de flujo de gradiente. Esta clase de SDE es particularmente popular porque es un punto de partida del procedimiento de cuantificación estocástica de Parisi-Sourlas, [2] que conduce a un modelo supersimétrico N=2 estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica . Sin embargo, desde el punto de vista físico, esta clase de SDE no es muy interesante porque nunca muestra una ruptura espontánea de la supersimetría topológica, es decir, las SDE de Langevin (sobreamortiguadas) nunca son caóticas .