En física teórica , la mecánica cuántica supersimétrica es un área de investigación donde los conceptos matemáticos de la física de altas energías se aplican al campo de la mecánica cuántica .
Introducción
Comprender las consecuencias de la supersimetría ha demostrado ser matemáticamente abrumador, y también ha sido difícil desarrollar teorías que puedan explicar la ruptura de la simetría, es decir , la falta de partículas asociadas observadas de igual masa. Para avanzar en estos problemas, los físicos desarrollaron la mecánica cuántica supersimétrica , una aplicación de la superalgebra supersimétrica (SUSY) a la mecánica cuántica en oposición a la teoría cuántica de campos . Se esperaba que el estudio de las consecuencias de SUSY en este entorno más simple condujera a una nueva comprensión; sorprendentemente, el esfuerzo creó nuevas áreas de investigación en la propia mecánica cuántica.
Por ejemplo, a los estudiantes se les enseña típicamente a "resolver" el átomo de hidrógeno mediante un laborioso proceso que comienza insertando el potencial de Coulomb en la ecuación de Schrödinger . Después de una cantidad considerable de trabajo utilizando muchas ecuaciones diferenciales, el análisis produce una relación de recursividad para los polinomios de Laguerre . El resultado final es el espectro de estados de energía del átomo de hidrógeno (etiquetado con números cuánticos n y l ). Usando ideas extraídas de SUSY, el resultado final se puede derivar con mucha más facilidad, de la misma manera que se usan los métodos de operador para resolver el oscilador armónico . [1] También se puede usar un enfoque supersimétrico similar para encontrar con mayor precisión el espectro de hidrógeno usando la ecuación de Dirac. [2] Curiosamente, este enfoque es análogo a la forma en que Erwin Schrödinger resolvió por primera vez el átomo de hidrógeno. [3] [4] Por supuesto, no llamó a su solución supersimétrica, ya que SUSY estaba treinta años en el futuro.
La solución SUSY del átomo de hidrógeno es sólo un ejemplo de la clase muy general de soluciones que SUSY proporciona a los potenciales invariantes de forma , una categoría que incluye la mayoría de los potenciales enseñados en cursos de introducción a la mecánica cuántica.
La mecánica cuántica de SUSY implica pares de hamiltonianos que comparten una relación matemática particular, que se denominan hamiltonianos asociados . (Los términos de energía potencial que ocurren en los hamiltonianos se denominan potenciales de pareja .) Un teorema introductorio muestra que para cada estado propio de un hamiltoniano, su hamiltoniano asociado tiene un estado propio correspondiente con la misma energía (excepto posiblemente para los estados propios de energía cero). Este hecho puede aprovecharse para deducir muchas propiedades del espectro de estados propios. Es análogo a la descripción original de SUSY, que se refería a bosones y fermiones. Podemos imaginar un "hamiltoniano bosónico", cuyos estados propios son los diversos bosones de nuestra teoría. El socio SUSY de este hamiltoniano sería "fermiónico", y sus estados propios serían los fermiones de la teoría. Cada bosón tendría un socio fermiónico de igual energía, pero, en el mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, por lo que podemos decir con la misma facilidad que las partículas asociadas tienen la misma masa.
Los conceptos de SUSY han proporcionado extensiones útiles a la aproximación WKB en forma de una versión modificada de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld. Además, SUSY se ha aplicado a la mecánica estadística no cuántica mediante la ecuación de Fokker-Planck , lo que demuestra que incluso si la inspiración original en la física de partículas de alta energía resulta ser un callejón sin salida, su investigación ha traído muchos beneficios útiles.
Ejemplo: el oscilador armónico
La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico toma la forma
dónde es el el estado propio de energía de con energia . Queremos encontrar una expresión para en términos de . Definimos los operadores
y
dónde , que debemos elegir, se llama superpotencial de . También definimos a los socios hamiltonianos antes mencionados y como
Un estado fundamental de energía cero de satisfaría la ecuación
Suponiendo que conocemos el estado fundamental del oscilador armónico , podemos resolver como
Entonces encontramos que
Ahora podemos ver que
Este es un caso especial de invariancia de forma, que se analiza a continuación. Tomando sin prueba el teorema introductorio mencionado anteriormente, es evidente que el espectro de comenzará con y continúe hacia arriba en pasos de Los espectros de y tendrá el mismo espaciado uniforme, pero se desplazará hacia arriba en cantidades y , respectivamente. De ello se deduce que el espectro de es por tanto el familiar .
El superalgebra SUSY QM
En mecánica cuántica fundamental, aprendemos que un álgebra de operadores se define por relaciones de conmutación entre esos operadores. Por ejemplo, los operadores canónicos de posición y momento tienen el conmutador. (Aquí, usamos " unidades naturales " donde la constante de Planck es igual a 1.) Un caso más complejo es el álgebra de operadores de momento angular ; estas cantidades están estrechamente relacionadas con las simetrías rotacionales del espacio tridimensional. Para generalizar este concepto, definimos un anticonmutador , que relaciona a los operadores de la misma manera que un conmutador ordinario , pero con el signo opuesto:
Si los operadores están relacionados tanto por anticomutadores como por conmutadores, decimos que son parte de una superalgebra de Lie . Digamos que tenemos un sistema cuántico descrito por un hamiltoniano y un conjunto de operadores . Llamaremos a este sistema supersimétrico si la siguiente relación anticonmutación es válida para todos:
Si este es el caso, llamamos las sobrealimentaciones del sistema .
Ejemplo
Veamos el ejemplo de una partícula no relativista unidimensional con un grado interno de libertad 2D ( es decir, dos estados) llamado "espín" (no es realmente espín porque el espín "real" es una propiedad de las partículas 3D). Dejarser un operador que transforme una partícula "girada hacia arriba" en una partícula "girada hacia abajo". Su adjuntoluego transforma una partícula giratoria hacia abajo en una partícula giratoria hacia arriba; los operadores están normalizados de modo que el anticonmutador. Y por supuesto,. Dejar ser el impulso de la partícula y ser su posición con . Dejar(el " superpotencial ") ser una función analítica compleja arbitraria de y definir los operadores supersimétricos
Tenga en cuenta que y son autoadjuntos. Deja que el hamiltoniano
donde W' es la derivada de W . También tenga en cuenta que { Q 1 , Q 2 } = 0. Esto no es más que supersimetría N = 2 . Tenga en cuenta queactúa como un potencial vectorial electromagnético .
Llamemos también al estado de giro hacia abajo "bosónico" y al estado de giro hacia arriba "fermiónico". Esto es solo una analogía con la teoría cuántica de campos y no debe tomarse literalmente. Entonces, Q 1 y Q 2 mapea estados "bosónicos" en estados "fermiónicos" y viceversa.
Reformulemos esto un poco:
Definir
y por supuesto,
y
Un operador es "bosónico" si asigna estados "bosónicos" a estados "bosónicos" y estados "fermiónicos" a estados "fermiónicos". Un operador es "fermiónico" si asigna estados "bosónicos" a estados "fermiónicos" y viceversa. Cualquier operador puede expresarse de forma única como la suma de un operador bosónico y un operador fermiónico. Defina el superconmutador [,} como sigue: Entre dos operadores bosónicos o un operador bosónico y un fermiónico, no es otro que el conmutador pero entre dos operadores fermiónicos, es un anticonmutador .
Entonces, xyp son operadores bosónicos yb, , Q y son operadores fermiónicos.
Trabajemos en la imagen de Heisenberg donde x, by son funciones del tiempo.
Luego,
Esto es no lineal en general: es decir, x (t), b (t) y no forman una representación SUSY lineal porque no es necesariamente lineal en x. Para evitar este problema, defina el operador autoadjunto. Luego,
y vemos que tenemos una representación SUSY lineal.
Ahora introduzcamos dos cantidades "formales", ; y siendo este último el adjunto del primero de modo que
y ambos conmutan con operadores bosónicos pero anticonmutan con fermiónicos.
A continuación, definimos una construcción llamada supercampo :
f es autoadjunto, por supuesto. Luego,
Por cierto, también hay una simetría U (1) R , con pyx y W con cero cargas R y que tiene una carga R de 1 yb que tiene una carga R de -1.
Invarianza de forma
Suponer es real para todo real . Entonces podemos simplificar la expresión del hamiltoniano a
Hay ciertas clases de superpotenciales de modo que tanto los hamiltonianos bosónicos como los fermiónicos tienen formas similares. Específicamente
donde el son parámetros. Por ejemplo, el potencial del átomo de hidrógeno con momento angular se puede escribir de esta manera.
Esto corresponde a para el superpotencial
Este es el potencial de momento angular desplazado por una constante. Después de resolver el estado fundamental, los operadores supersimétricos se pueden utilizar para construir el resto del espectro de estado ligado.
En general, desde y son socios potenciales, comparten el mismo espectro de energía, excepto una energía terrestre adicional. Podemos continuar este proceso de encontrar potenciales socios con la condición de invariancia de forma, dando la siguiente fórmula para los niveles de energía en términos de los parámetros del potencial
dónde son los parámetros para los potenciales asociados múltiples.
Ver también
Referencias
- ^ Cenefa, A .; Morgan, TJ; Bergeron, H. (1990), "Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry" , American Journal of Physics , AAPT, 58 (5): 487–491, Bibcode : 1990AmJPh..58..487V , doi : 10.1119 / 1.16452 , archivado desde el original el 24 de febrero de 2013
- ^ Thaller, B. (1992). La ecuación de Dirac. Textos y monografías en física. Saltador.
- ^ Schrödinger, Erwin (1940), "A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues and Eigenfunctions", Actas de la Real Academia Irlandesa , Real Academia Irlandesa, 46 : 9-16
- ^ Schrödinger, Erwin (1941), "Más estudios sobre la resolución de problemas de valores propios por factorización", Actas de la Real Academia Irlandesa , Real Academia Irlandesa, 46 : 183-206
Fuentes
- F. Cooper, A. Khare y U. Sukhatme, "Supersymmetry and Quantum Mechanics", Phys.Rept. 251: 267-385, 1995.
- DS Kulshreshtha, JQ Liang y HJW Muller-Kirsten, "Ecuaciones de fluctuación sobre configuraciones de campo clásicas y mecánica cuántica supersimétrica", Annals Phys. 225: 191-211, 1993.
- G. Junker, "Métodos supersimétricos en física cuántica y estadística", Springer-Verlag, Berlín, 1996
- B. Mielnik y O. Rosas-Ortiz, "Factorización: ¿pequeño o gran algoritmo?", J. Phys. A: Matemáticas. 37: 10007-10035, 2004
enlaces externos
- Referencias de INSPIRE-HEP