La teoría supersimétrica de dinámica estocástica o estocástica ( STS ) es una teoría exacta de ecuaciones diferenciales estocásticas (parciales) (SDE), la clase de modelos matemáticos con la aplicabilidad más amplia que cubre, en particular, todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo , con y sin ruido. La principal utilidad de la teoría desde el punto de vista físico es una explicación teórica rigurosa del comportamiento dinámico omnipresente y espontáneo de largo alcance que se manifiesta en todas las disciplinas a través de fenómenos como 1 / f , parpadeo y ruidos crepitantes y las estadísticas de la ley de potencias. o la ley de Zipf, de procesos instantónicos como terremotos y neuroavalanches. Desde el punto de vista matemático, STS es interesante porque une las dos partes principales de la física matemática: la teoría de sistemas dinámicos y las teorías de campos topológicos . Además de estas y disciplinas relacionadas como la topología algebraica y las teorías de campo supersimétricas , STS también está conectado con la teoría tradicional de ecuaciones diferenciales estocásticas y la teoría de operadores pseudo-hermitianos.
La teoría comenzó con la aplicación del procedimiento de fijación del calibre BRST a las SDE de Langevin, [1] [2] que luego se adaptó a la mecánica clásica [3] [4] [5] [6] y su generalización estocástica, [7] superior- orden Langevin SDE, [8] y, más recientemente, a SDE de forma arbitraria, [9] lo que permitió vincular el formalismo BRST al concepto de operadores de transferencia y reconocer la ruptura espontánea de la supersimetría BRST como una generalización estocástica del caos dinámico .
La idea principal de la teoría es estudiar, en lugar de trayectorias, la evolución temporal definida por SDE de formas diferenciales . Esta evolución tiene un BRST intrínseco o supersimetría topológica que representa la preservación de la topología y / o el concepto de proximidad en el espacio de fase por dinámica de tiempo continua. La teoría identifica un modelo como caótico , en el sentido estocástico generalizado, si su estado fundamental no es supersimétrico, es decir, si la supersimetría se rompe espontáneamente. En consecuencia, el comportamiento emergente de largo alcance que siempre acompaña al caos dinámico y sus derivados, como la turbulencia y la criticidad autoorganizada, puede entenderse como una consecuencia del teorema de Goldstone .
Historia y relación con otras teorías
La primera relación entre la supersimetría y la dinámica estocástica fue establecida por Giorgio Parisi y Nicolas Sourlas [1] [2], quienes demostraron que la aplicación del procedimiento de fijación del medidor BRST a las SDE de Langevin, es decir, a las SDE con espacios de fase lineal, campos de vector de flujo de gradiente y ruidos aditivos, da como resultado N = 2 modelos supersimétricos. Desde entonces, la supersimetría emergente de Langevin SDE se ha estudiado bastante extensamente. [10] [11] [12] [13] [8] Se han establecido relaciones entre esta supersimetría y algunos conceptos físicos, incluidos los teoremas de disipación de fluctuación , [13] Igualdad de Jarzynski , [14] Principio de reversibilidad microscópica de Onsager , [15 ] soluciones de ecuaciones de Fokker-Planck, [16] autoorganización , [17] etc.
Se utilizó un enfoque similar para establecer que la mecánica clásica , [3] [4] su generalización estocástica, [7] y las SDE de Langevin de orden superior [8] también tienen representaciones supersimétricas. Los sistemas dinámicos reales, sin embargo, nunca son puramente de Langevin o mecánicos clásicos. Además, los SDE de Langevin físicamente significativos nunca rompen la supersimetría de forma espontánea. Por lo tanto, con el propósito de identificar la ruptura espontánea de la supersimetría como caos dinámico , se necesita la generalización del enfoque Parisi-Sourlas a las SDE de forma general. Esta generalización sólo podría venir después de una formulación rigurosa de la teoría de los operadores pseudo-hermitianos [18] porque el operador de evolución estocástica es pseudo-hermitiano en el caso general. Tal generalización [9] mostró que todas las SDE poseen N = 1 BRST o supersimetría topológica (TS) y este hallazgo completa la historia de la relación entre la supersimetría y las SDE.
En paralelo al enfoque de procedimiento BRST para SDE, los matemáticos que trabajaban en la teoría de sistemas dinámicos introdujeron y estudiaron el concepto de operador de transferencia generalizado definido para sistemas dinámicos aleatorios. [19] [20] Este concepto subyace al objeto más importante del STS, el operador de evolución estocástica, y le proporciona un significado matemático sólido.
STS tiene una estrecha relación con la topología algebraica y su sector topológico pertenece a la clase de modelos conocidos como teoría de campo topológica o cohomológica de tipo Witten . [21] [22] [23] [24] [25] [26] Como teoría supersimétrica, el enfoque del procedimiento BRST para las SDE puede verse como una de las realizaciones del concepto de mapa de Nicolai. [27] [28]
Enfoque Parisi-Sourlas para Langevin SDE
En el contexto del enfoque supersimétrico de la dinámica estocástica, el término Langevin SDE denota SDE con espacio de fase euclidiana, , campo vectorial de flujo de gradiente y ruido blanco gaussiano aditivo ,
El método Parisi-Sourlas es una forma de construcción del camino de representación integral del Langevin SDE. Se puede considerar como un procedimiento de fijación del medidor BRST que utiliza el Langevin SDE como condición del medidor. Es decir, se considera la siguiente integral funcional,
dónde denota las derechas del Langevin SDE, es la operación de promediado estocástico con siendo la distribución normalizada de configuraciones de ruido,
es el jacobiano de la derivada funcional correspondiente, y la integración de la ruta es sobre todas las rutas cerradas, , dónde y son los momentos inicial y final de la evolución temporal.
Interpretación topológica
Los aspectos topológicos de la construcción Parisi-Sourlas se pueden resumir brevemente de la siguiente manera. [21] [29] El delta-funcional, es decir, la colección del número infinito de delta-funciones, asegura que solo las soluciones de Langevin SDE contribuyan a. En el contexto del procedimiento BRST, estas soluciones pueden verse como copias de Gribov . Cada solución aporta unidad positiva o negativa:con siendo el índice del llamado mapa Nicolai, , que en este caso es el mapa del espacio de caminos cerrados en al espacio de las configuraciones de ruido, un mapa que proporciona una configuración de ruido en la que un camino cerrado dado es una solución del Langevin SDE. puede verse como una realización del teorema de Poincaré-Hopf en el espacio de dimensión infinita de trayectorias cercanas con Langevin SDE jugando el papel del campo vectorial y con las soluciones de Langevin SDE jugando el papel de los puntos críticos con índice. es independiente de la configuración del ruido porque es de carácter topológico. Lo mismo ocurre con su promedio estocástico,, que no es la función de partición del modelo, sino su índice de Witten .
Representación integral de ruta
Con la ayuda de una técnica teórica de campo estándar que implica la introducción de un campo adicional llamado multiplicador de Lagrange, y un par de campos fermiónicos llamados fantasmas Faddeev-Popov ,, el índice de Witten puede tener la siguiente forma,
dónde denota colección de todos los campos, pbc significa condiciones de contorno periódicas, el llamado fermión de calibre, , con y , y la simetría BRST definida a través de su acción en funciones arbitrarias como . En el formalismo BRST , las piezas Q-exact como,, sirven como herramientas de fijación de calibre. Por lo tanto, la expresión integral de camino parase puede interpretar como un modelo cuya acción no contiene nada más que el término de fijación del indicador. Esta es una característica definitiva de las teorías de campos topológicos de tipo Witten y en este caso particular de enfoque de procedimiento BRST para SDE, la simetría BRST también se puede reconocer como la supersimetría topológica. [21]
Una forma común de explicar el procedimiento BRST es decir que la simetría BRST genera la versión fermiónica de las transformaciones de calibre, mientras que su efecto general en la integral de trayectoria es limitar la integración solo a configuraciones que satisfacen una condición de calibre especificada. Esta interpretación también se aplica al enfoque Parisi-Sourlas con las deformaciones de la trayectoria y el Langevin SDE desempeñando los roles de las transformaciones de ancho y la condición de ancho, respectivamente.
Representación del operador
Los fermiones físicos en los modelos de física de alta energía y materia condensada tienen condiciones de frontera antiperiódicas en el tiempo. Las condiciones de contorno periódicas no convencionales para fermiones en la expresión integral de trayectoria para el índice de Witten son el origen del carácter topológico de este objeto. Estas condiciones de contorno se revelan en la representación del operador del índice de Witten como el operador de signo alterno,
Espacio Hilbert
Las funciones de onda son funciones no solo de las variables bosónicas, , sino también de los números o fermiones de Grassmann ,, desde el espacio tangente de . Las funciones de onda pueden verse como formas diferenciales en con los fermiones jugando el papel de los diferenciales . [25] El concepto de SEO infinitesimal generaliza el operador Fokker-Planck , que es esencialmente el SEO que actúa sobre las formas diferenciales superiores que tienen el significado de las distribuciones de probabilidad total . Las formas diferenciales de menor grado pueden interpretarse, al menos localmente, en, como distribuciones de probabilidad condicionales . [30] Ver los espacios de formas diferenciales de todos los grados como funciones de onda del modelo es una necesidad matemática. Sin él, el índice de Witten que representa el objeto más fundamental del modelo, la función de partición del ruido, no existiría y la función de partición dinámica no representaría el número de puntos fijos del SDE ( ver más abajo ). La comprensión más general de las funciones de onda son los objetos sin coordenadas que contienen información no solo sobre trayectorias sino también sobre la evolución de los diferenciales y / o exponentes de Lyapunov . [31]
Relación con el modelo sigma no lineal y la topología algebraica
En Ref., [25] se ha introducido un modelo que puede verse como un prototipo 1D de los modelos topológicos sigma no lineal (TNSM), [22] una subclase de las teorías de campo topológico tipo Witten . El 1D TNSM se define para los espacios de fase de Riemann, mientras que para los espacios de fase euclidiana se reduce al modelo Parisi-Sourlas. Su diferencia clave con STS es el operador de difusión que es el Hodge Laplacian para 1D TNSM ypara STS. Esta diferencia no es importante en el contexto de la relación entre STS y topología algebraica, la relación establecida por la teoría de 1D TNSM (ver, por ejemplo, Refs. [25] [21] ).
El modelo está definido por el siguiente operador de evolución , dónde con siendo la métrica, es el Hodge Laplaciano , y las formas diferenciales del álgebra exterior del espacio de fase,, se ven como funciones de onda. Existe una transformación de similitud,, que lleva al operador de evolución a la forma explícitamente hermitiana con . En el caso euclidiano,es el hamiltoniano de una mecánica cuántica supersimétrica N = 2 . Se pueden introducir dos operadores hermitianos, y , tal que . Esto demuestra que el espectro de y / o es real y no negativo. Esto también es válido para los SEO de Langevin SDE. Sin embargo, para los SDE de forma arbitraria, esto ya no es cierto ya que los valores propios del SEO pueden ser negativos e incluso complejos, lo que en realidad permite que el TS se rompa espontáneamente.
Las siguientes propiedades del operador de evolución de 1D TNSM se mantienen incluso para el SEO de las SDE de forma arbitraria. El operador de evolución conmuta con el operador del grado de formas diferenciales. Como resultado,, dónde y es el espacio de formas diferenciales de grado . Además, debido a la presencia de ST,, dónde son los autoestados supersimétricos, , no trivial en la cohomología de Rham mientras que el resto son los pares de estados propios no supersimétricos de la forma y . Todos los estados propios supersimétricos tienen valores propios exactamente cero y, salvo situaciones accidentales, todos los estados no supersimétricos tienen valores propios distintos de cero. Los pares de estados propios no supersimétricos no contribuyen al índice de Witten, que es igual a la diferencia en los números de los estados supersimétricos de grados pares e impares,Para compacto , cada clase de cohomología de De Rham proporciona un autoestado supersimétrico y el índice de Witten es igual a la característica de Euler del espacio de fase.
Procedimiento BRST para SDE de forma arbitraria
El método Parisi-Sourlas de enfoque del procedimiento BRST para las SDE de Langevin también se ha adaptado a la mecánica clásica, [3] la generalización estocástica de la mecánica clásica, [7] las SDE de Langevin de orden superior, [8] y, más recientemente, a las SDE de forma arbitraria. . [9] Si bien existen técnicas estándar que permiten considerar modelos con ruidos de colores, "espacios base" de mayor dimensión descritos por SDE parciales, etc., los elementos clave de STS pueden discutirse utilizando la siguiente clase básica de SDE:
Ambigüedad de la representación integral de la trayectoria y el dilema de Ito-Stratonovich
El procedimiento de fijación del medidor BRST sigue la misma línea que en el caso de Langevin SDE. La interpretación topológica del procedimiento BRST es la misma y la representación integral de la trayectoria del índice de Witten está definida por el fermión de calibre,, dado por la misma expresión pero con la versión generalizada de . Sin embargo, hay una sutileza importante que aparece en el camino hacia la representación del operador del modelo. A diferencia de los SDE de Langevin, la mecánica clásica y otros SDE con ruidos aditivos, la representación integral de ruta del SEO de tiempo finito es un objeto ambiguo. Esta ambigüedad se origina en la no conmutatividad de los operadores de momentos y posiciones, por ejemplo,. Como resultado, en la trayectoria, la representación integral tiene toda una familia de un parámetro de posibles interpretaciones en la representación del operador, , dónde denota una función de onda arbitraria. En consecuencia, hay un conjunto-familia de SEO infinitesimales,
La representación integral de trayectoria de la dinámica estocástica es equivalente a la comprensión tradicional de las SDE como de un límite de tiempo continuo de ecuaciones en diferencias estocásticas donde diferentes opciones de parámetrosse denominan "interpretaciones" de las SDE. La elección, para cual y que se conoce en la teoría cuántica como regla de simetrización de Weyl , se conoce como la interpretación de Stratonovich , mientras quecomo la interpretación de Ito . Mientras que en la teoría cuántica se prefiere la simetrización de Weyl porque garantiza la hermiticidad de los hamiltonianos, en STS se prefiere el enfoque de Weyl-Stratonovich porque corresponde al significado matemático más natural del SEO de tiempo finito que se analiza a continuación: el retroceso promediado estocásticamente inducido por el Difeomorfismos definidos por SDE.
Eigensistema de operador de evolución estocástica
En comparación con el SEO de Langevin SDE, el SEO de una forma general SDE es pseudo-hermitiano. [18] Como resultado, los valores propios de los estados propios no supersimétricos no están restringidos a ser positivos reales, mientras que los valores propios de los estados propios supersimétricos siguen siendo exactamente cero. Al igual que para Langevin SDE y el modelo sigma no lineal, la estructura del sistema propio del SEO restablece el carácter topológico del índice de Witten: las contribuciones de los pares no supersimétricos de estados propios se desvanecen y solo los estados supersimétricos aportan la característica de Euler de (cerrado). Entre otras propiedades de los espectros de SEO está que y nunca rompa TS, es decir, . Como resultado, hay tres tipos principales de espectros de SEO presentados en la figura de la derecha. Los dos tipos que tienen valores propios negativos (partes reales de) corresponden al TS roto espontáneamente. Todos los tipos de espectros de SEO son realizables como puede establecerse, por ejemplo, a partir de la relación exacta entre la teoría de la dinamo cinemática y STS. [32]
STS sin procedimiento BRST
El significado matemático del operador de evolución estocástica
El SEO de tiempo finito se puede obtener de otra forma más matemática basada en la idea de estudiar las acciones inducidas por SDE en formas diferenciales directamente, sin pasar por el procedimiento de fijación de calibre BRST. El SEO de tiempo finito así obtenido se conoce en la teoría de sistemas dinámicos como el operador de transferencia generalizado [19] [20] y también se ha utilizado en la teoría clásica de SDE (ver, por ejemplo, Refs. [33] [34] ). La contribución a esta construcción de STS [9] es la exposición de la estructura supersimétrica subyacente y el establecimiento de su relación con el procedimiento BRST para SDE.
Es decir, para cualquier configuración del ruido, , y una condición inicial, , SDE define una solución / trayectoria única, . Incluso para configuraciones de ruido que no son diferenciables con respecto al tiempo,, la solución es diferenciable con respecto a la condición inicial, . [35] En otras palabras, SDE define la familia de difeomorfismos dependientes de la configuración de ruido del espacio de fase a sí mismo,. Este objeto puede entenderse como una colección y / o definición de todas las trayectorias dependientes de la configuración del ruido,. Los difeomorfismos inducen acciones o retrocesos ,. A diferencia de, digamos, las trayectorias en, los retrocesos son objetos lineales incluso para no lineales . Los objetos lineales se pueden promediar y promediar sobre las configuraciones de ruido, , da como resultado el SEO de tiempo finito que es único y corresponde a la interpretación de Weyl-Stratonovich del enfoque del procedimiento BRST para las SDE, .
Dentro de esta definición del SEO de tiempo finito, el índice de Witten puede reconocerse como el rastro nítido del operador de transferencia generalizado. [19] [20] También vincula el índice de Witten con el índice de Lefschetz ,, una constante topológica que es igual a la característica de Euler del espacio de fase (cerrado). A saber,.
El significado de la supersimetría y el efecto mariposa
La supersimetría N = 2 de Langevin SDE se ha relacionado con el principio de Onsager de reversibilidad microscópica [15] y la igualdad de Jarzynski . [14] En la mecánica clásica, se ha propuesto una relación entre la correspondiente supersimetría N = 2 y la ergodicidad . [6] En forma general, las SDE, donde los argumentos físicos pueden no ser aplicables, se encuentra disponible una explicación de nivel inferior del TS. Esta explicación se basa en la comprensión del SEO de tiempo finito como un retroceso promediado estocásticamente de los difeomorfismos definidos por SDE (consulte la subsección anterior). En esta imagen, la pregunta de por qué cualquier SDE tiene ST es la misma que la pregunta de por qué la derivada exterior conmuta con el retroceso de cualquier difeomorfismo. La respuesta a esta pregunta es la diferenciabilidad del mapa correspondiente. En otras palabras, la presencia de TS es la versión algebraica de la afirmación de que el flujo de tiempo continuo preserva la continuidad de. Dos puntos inicialmente cercanos permanecerán cercanos durante la evolución, que es solo otra forma de decir que es un difeomorfismo.
En modelos caóticos deterministas, los puntos inicialmente cercanos pueden formar parte del límite de una evolución temporal infinitamente larga. Este es el famoso efecto mariposa , que equivale a la afirmación de quepérdidas de diferenciabilidad en este límite. En la representación algebraica de la dinámica, la evolución en el límite de tiempo infinitamente largo se describe mediante el estado fundamental del SEO y el efecto mariposa es equivalente a la ruptura espontánea de TS, es decir, a la situación en la que el estado fundamental no es supersimétrico. Es de destacar que, a diferencia de la comprensión tradicional de la dinámica caótica determinista, la ruptura espontánea de TS funciona también para casos estocásticos. Ésta es la generalización más importante porque la dinámica determinista es, de hecho, una idealización matemática. Los sistemas dinámicos reales no pueden aislarse de sus entornos y, por lo tanto, siempre experimentan una influencia estocástica.
Ruptura espontánea de supersimetría y caos dinámico
El procedimiento de fijación del calibre BRST aplicado a los SDE conduce directamente al índice de Witten. El índice de Witten es de carácter topológico y no responde a ninguna perturbación. En particular, todos los correlacionadores de respuesta calculados utilizando el índice de Witten desaparecen. Este hecho tiene una interpretación física dentro del STS: el significado físico del índice de Witten es la función de partición del ruido [30] y dado que no hay retroacción del sistema dinámico al ruido, el índice de Witten no tiene información sobre los detalles. de la SDE. Por el contrario, la información sobre los detalles del modelo está contenida en el otro objeto similar a un rastro de la teoría, la función de partición dinámica,
Para una amplia clase de modelos, la función de partición dinámica proporciona un límite inferior para el número promediado estocásticamente de puntos fijos de los difeomorfismos definidos por SDE,
La lista completa de razones por las que la ruptura espontánea del TS debe verse como la generalización estocástica del concepto de caos dinámico es la siguiente.
- Entropía dinámica positiva.
- Según el teorema de Goldstone , la ruptura espontánea de TS debe adaptar un comportamiento dinámico de largo alcance, una de cuyas manifestaciones es el efecto mariposa discutido anteriormente en el contexto del significado de TS.
- De las propiedades del sistema propio de SEO, TS puede romperse espontáneamente solo si . Esta conclusión puede verse como la generalización estocástica del teorema de Poincaré-Bendixson para el caos determinista.
- En el caso determinista, los modelos integrables en el sentido de sistemas dinámicos tienen variedades globales estables e inestables bien definidas de. Los sujetadores / kets de los estados fundamentales globales de tales modelos son los duales de Poincaré de las variedades global estable / inestable. Estos estados fundamentales son supersimétricos para que TS no se rompa espontáneamente. Por el contrario, cuando el modelo es no integrable o caótico, sus variedades globales (in) estables no son variedades topológicas bien definidas, sino que tienen una estructura fractal y autorrecurrente que puede capturarse utilizando el concepto de variedades ramificadas. [36] Las funciones de onda que pueden representar tales variedades no pueden ser supersimétricas. Por lo tanto, la ruptura de TS está intrínsecamente relacionada con el concepto de no integrabilidad en el sentido de sistemas dinámicos, que en realidad es otra definición ampliamente aceptada de caos determinista.
Todas las características anteriores de la ruptura de TS funcionan tanto para modelos deterministas como estocásticos. Esto contrasta con el caos determinista tradicional cuyas propiedades basadas en trayectorias, como la mezcla topológica , no pueden en principio generalizarse al caso estocástico porque, al igual que en la dinámica cuántica, todas las trayectorias son posibles en presencia de ruido y, digamos, la topológica. La propiedad de mezcla se satisface trivialmente por todos los modelos con una intensidad de ruido distinta de cero.
STS como teoría de campo topológico
El sector topológico de STS puede reconocerse como miembro de las teorías de campo topológico tipo Witten . [21] [22] [24] [25] [26] En otras palabras, algunos objetos en STS son de carácter topológico, siendo el índice de Witten el ejemplo más famoso. Hay otras clases de objetos topológicos. Una clase de objetos está relacionada con los instantones , es decir, la dinámica transitoria. El papel arrugado, el plegamiento de proteínas y muchos otros procesos dinámicos no lineales en respuesta a apagones, es decir, a cambios externos (repentinos) de parámetros, pueden reconocerse como dinámicas instantónicas. Desde el punto de vista matemático, los instantones son familias de soluciones de ecuaciones deterministas de movimiento,, que parten de, digamos, un punto fijo menos estable de a un punto fijo más estable. Ciertos elementos de la matriz calculados sobre instancias son de naturaleza topológica. Se puede definir un ejemplo de tales elementos de matriz para un par de puntos críticos, y , con siendo más estable que ,
Los elementos de la matriz instantónica anteriores son exactos solo en el límite determinista. En el caso estocástico general, se pueden considerar estados supersimétricos globales,'s, de las clases de cohomología de De Rham de y observables, , que son duales de Poincaré de variedades cerradas no triviales en homología de. Los siguientes elementos de la matriz,son invariantes topológicos representativos de la estructura del anillo de cohomología de De Rham de.
Aplicaciones
La teoría supersimétrica de la dinámica estocástica puede resultar interesante de diferentes formas. Por ejemplo, STS ofrece una prometedora realización del concepto de supersimetría . En general, existen dos problemas importantes en el contexto de la supersimetría. El primero es establecer conexiones entre esta entidad matemática y el mundo real. Dentro de STS, la supersimetría es la simetría más común en la naturaleza porque es pertinente para todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo. El segundo es el colapso espontáneo de la supersimetría . Este problema es particularmente importante para la física de partículas porque la supersimetría de partículas elementales , si existe a una escala extremadamente corta, debe romperse espontáneamente a gran escala. Este problema no es trivial porque las supersimetrías son difíciles de romper espontáneamente, la misma razón detrás de la introducción de la ruptura de supersimetría suave o explícita . [37] Dentro de CTS, la ruptura espontánea de la supersimetría es de hecho un fenómeno dinámico no trivial que ha sido conocido en diversas disciplinas como caos , turbulencia , criticidad autoorganizada, etc.
Algunas aplicaciones más específicas de STS son las siguientes.
Clasificación de dinámica estocástica
STS proporciona una clasificación para modelos estocásticos dependiendo de si TS está roto y la integrabilidad del campo de vector de flujo. Se puede ejemplificar como parte del diagrama de fase general en el límite del caos (ver figura a la derecha). El diagrama de fases tiene las siguientes propiedades:
- Para los modelos físicos, TS se restaura eventualmente con el aumento de la intensidad del ruido.
- La fase simétrica se puede llamar equilibrio térmico o fase T porque el estado fundamental es el estado supersimétrico de la distribución de probabilidad total en estado estacionario.
- En el límite determinista, la fase ordenada equivale a una dinámica caótica determinista con flujo no integrable.
- La fase ordenada no integrable se puede llamar caos o fase C porque le pertenece el caos determinista ordinario.
- La fase integrable ordenada se puede llamar caos inducido por ruido o fase N porque desaparece en el límite determinista. El TS se rompe por la condensación de (anti) instantones (ver más abajo).
- A ruidos más fuertes, el límite NC agudo debe extenderse hacia un cruce porque los (anti) instantones pierden su individualidad y es difícil para un observador externo distinguir un proceso de tunelización de otro.
Desmitificación de la criticidad autoorganizada
Muchos procesos repentinos (o instantónicos) en la naturaleza, como, por ejemplo, el ruido crepitante , exhiben estadísticas sin escala, a menudo llamadas ley de Zipf . Como explicación de este peculiar comportamiento dinámico espontáneo, se propuso creer que algunos sistemas dinámicos estocásticos tienen una tendencia a auto-sintonizarse en un punto crítico , el enfoque fenomenológico conocido como criticidad autoorganizada (SOC). [38] STS ofrece una perspectiva alternativa sobre este fenómeno. [39] Dentro de STS, SOC no es más que dinámica en la fase N. En concreto, la característica definitiva de la fase N es el peculiar mecanismo de rotura del TS. A diferencia de la fase C, donde el TS se rompe por la no integrabilidad del flujo, en la fase N , el TS se rompe espontáneamente debido a la condensación de las configuraciones de instantons y antiinstantons inducidos por ruido, es decir, el tiempo. -instantones invertidos. Estos procesos pueden interpretarse a grandes rasgos como los eventos de efecto túnel inducidos por ruido entre, por ejemplo, diferentes atractores. Cualitativamente, la dinámica en la fase N le parece a un observador externo como una secuencia de saltos repentinos o "avalanchas" que deben exhibir un comportamiento / estadísticas libres de escala como resultado del teorema de Goldstone . Esta imagen de la dinámica en la fase N es exactamente el comportamiento dinámico que se diseñó para explicar el concepto de SOC. En contraste con la comprensión original de SOC, [40] su interpretación STS tiene poco que ver con la teoría tradicional de fenómenos críticos donde el comportamiento libre de escala se asocia con puntos fijos inestables del flujo del grupo de renormalización .
Teoría de la dínamo cinemática
El fenómeno magnetohidrodinámico de la dinamo cinemática también se puede identificar como la ruptura espontánea del ST. [32] Este resultado se deriva de la equivalencia entre el operador de evolución del campo magnético y el SEO del SDE correspondiente que describe el flujo de la materia de fondo. La correspondencia STS-dínamo cinemática tan emergida demuestra, en particular, que ambos tipos de espectros de ruptura de TS son posibles, con los valores propios del estado fundamental real y complejo, porque se conocen los dinamo cinemáticos con ambos tipos de modos propios de crecimiento más rápido. [41]
Dinámica transitoria
Es bien sabido que varios tipos de dinámicas transitorias, como las extinciones, exhiben un comportamiento espontáneo de largo alcance. En el caso de apagones en las transiciones de fase, este comportamiento a menudo se atribuye a la proximidad de la criticidad. También se sabe que los apagadores que no exhiben una transición de fase exhiben características de largo alcance, siendo los ejemplos más conocidos el efecto Barkhausen y las diversas realizaciones del concepto de ruido crepitante . Es intuitivamente atractivo que las explicaciones teóricas para el comportamiento libre de incrustaciones en las extinciones deben ser las mismas para todas las extinciones, independientemente de si produce o no una transición de fase; STS ofrece tal explicación. Es decir, la dinámica transitoria es esencialmente un instante compuesto y el TS está intrínsecamente roto dentro de los instantes. Aunque la ruptura de TS dentro de los instantes no se debe exactamente al fenómeno de la ruptura espontánea de una simetría por un estado fundamental global, esta ruptura de TS efectiva también debe resultar en un comportamiento libre de escala. Esta comprensión está respaldada por el hecho de que los instantones condensados conducen a la aparición de logaritmos en las funciones de correlación. [42] Esta imagen de dinámica transitoria explica la eficiencia computacional de las máquinas de computación de memoria digital. [43]
Teorías efectivas de baja energía para el caos dinámico
En física, la ruptura espontánea de la simetría se conoce como "ordenar". Por ejemplo, la ruptura espontánea de la simetría de traslación en un líquido es la esencia matemática de la cristalización o el "ordenamiento" espacial de las moléculas en una red. Por lo tanto, el TS espontáneo que rompe la imagen de la dinámica caótica es, en cierto sentido, opuesto a la semántica de la palabra "caos". Debido a su carácter temporal, en realidad es Chronos , no Caos , quien parece ser la deidad griega primordial más cercana en su espíritu al orden de ruptura de TS. Quizás, debería acuñarse un identificador más preciso que "caos" para la ruptura de TS en el futuro. A partir de este momento, esta comprensión cualitativamente nueva del caos dinámico ya apunta hacia una dirección de investigación que puede conducir a la resolución de algunos problemas importantes como la turbulencia y la neurodinámica. Es decir, como en el caso de cualquier otro "ordenamiento", se puede lograr una descripción simplificada pero precisa de la dinámica caótica en términos de la teoría efectiva de baja energía para un parámetro de orden . Si bien la descripción efectiva de baja energía de la dinámica caótica puede ser muy específica para cada caso, su parámetro de orden siempre debe ser un representante de los fermiones sin espacios u goldstinos del TS que se rompe espontáneamente.
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