En cálculo vectorial y geometría diferencial, el teorema de Stokes generalizado (a veces con apóstrofe como teorema de Stokes o teorema de Stokes ), también llamado teorema de Stokes-Cartan , [1] es una declaración sobre la integración de formas diferenciales en variedades , que simplifica y generaliza varios teoremas del cálculo vectorial . Es una generalización del teorema fundamental de cálculo de Isaac Newton que relaciona integrales de línea bidimensionales con integrales de superficie tridimensionales. [2]
El teorema de Stokes dice que la integral de una forma diferencial ω sobre el límite de alguna variedad orientable Ω es igual a la integral de su derivada exterior dω sobre la totalidad de Ω , es decir,
El teorema de Stokes fue formulado en su forma moderna por Élie Cartan en 1945, [3] siguiendo un trabajo anterior sobre la generalización de los teoremas del cálculo vectorial de Vito Volterra , Édouard Goursat y Henri Poincaré . [4] [5]
Esta forma moderna del teorema de Stokes es una amplia generalización de un resultado clásico que Lord Kelvin comunicó a George Stokes en una carta fechada el 2 de julio de 1850. [6] [7] [8] Stokes planteó el teorema como una pregunta sobre el 1854 Smith's Prize , que llevó al resultado que lleva su nombre. Fue publicado por primera vez por Hermann Hankel en 1861. [8] [9] Este teorema clásico de Kelvin-Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial F sobre una superficie (es decir, el flujo decurl F ) en tres espacios euclidianos a la integral de línea del campo vectorial sobre su límite (también conocida como integral de bucle).
Sea γ : [ a , b ] → R 2 una curva del plano de Jordan suave por tramos . El teorema de la curva de Jordan implica que γ divide a R 2 en dos componentes, una compacta y otra no compacta. Sea D la parte compacta que está acotada por γ y supongamos que ψ : D → R 3 es suave, con S := ψ ( D ) . Si Γ es elcurva espacial definida por Γ( t ) = ψ ( γ ( t )) [nota 1] y F es un campo vectorial suave en R 3 , entonces: [10] [11] [12]
Esta declaración clásica, es un caso especial de la formulación general establecida anteriormente después de hacer una identificación del campo vectorial con una forma de 1 y su rotacional con una forma de dos a través de