Cardenal inaccesible
En la teoría de conjuntos , un cardinal incontable es inaccesible si no puede obtenerse de cardinales más pequeños mediante las operaciones habituales de la aritmética cardinal . Más precisamente, un cardinal κ es fuertemente inaccesible si es incontable, no es una suma de menos de κ cardenales que son menores que κ , e implica .
El término "cardenal inaccesible" es ambiguo. Hasta alrededor de 1950, significaba "cardenal débilmente inaccesible", pero desde entonces generalmente significa "cardenal fuertemente inaccesible". Un cardenal incontable es débilmente inaccesible si es un cardenal de límite débil regular . Es muy inaccesible, o simplemente inaccesible, si es un cardinal de límite fuerte regular (esto es equivalente a la definición dada arriba). Algunos autores no requieren que los cardenales débil y fuertemente inaccesibles sean incontables (en cuyo caso es fuertemente inaccesible). Los cardenales débilmente inaccesibles fueron introducidos por Hausdorff (1908) , y los fuertemente inaccesibles por Sierpiński & Tarski (1930) y Zermelo (1930) .
Todo cardenal fuertemente inaccesible es también débilmente inaccesible, ya que todo cardenal límite fuerte es también un cardenal límite débil. Si se mantiene la hipótesis del continuo generalizado , entonces un cardenal es fuertemente inaccesible si y solo si es débilmente inaccesible.
( aleph-null ) es un cardinal de límite fuerte regular. Asumiendo el axioma de elección , cualquier otro número cardinal infinito es regular o un límite (débil). Sin embargo, solo un número cardinal bastante grande puede ser ambos y, por lo tanto, débilmente inaccesible.
Un ordinal es un cardinal débilmente inaccesible si y solo si es un ordinal regular y es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno y ω son ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares.) Un cardinal que es débilmente inaccesible y también un cardinal de límite fuerte es fuertemente inaccesible.
La suposición de la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible se aplica a veces en la forma de la suposición de que se puede trabajar dentro de un universo de Grothendieck , estando las dos ideas íntimamente conectadas.