En matemáticas , los números cardinales , o cardinals para abreviar, son una generalización de los números naturales que se utilizan para medir la cardinalidad (tamaño) de los conjuntos . La cardinalidad de un conjunto finito es un número natural: el número de elementos del conjunto. Los números cardinales transfinitos , a menudo denotados con el símbolo hebreo( aleph ) seguido de un subíndice, [1] describe los tamaños de conjuntos infinitos .
La cardinalidad se define en términos de funciones biyectivas . Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si, y solo si, existe una correspondencia uno a uno (biyección) entre los elementos de los dos conjuntos. En el caso de conjuntos finitos, esto concuerda con la noción intuitiva de tamaño. En el caso de conjuntos infinitos, el comportamiento es más complejo. Un teorema fundamental de Georg Cantor muestra que es posible que los conjuntos infinitos tengan diferentes cardinalidades y, en particular, la cardinalidad del conjunto de números reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de números naturales . También es posible que un subconjunto adecuado de un conjunto infinito tenga la misma cardinalidad que el conjunto original, algo que no puede suceder con los subconjuntos adecuados de conjuntos finitos.
Hay una secuencia transfinita de números cardinales:
Esta secuencia comienza con los números naturales, incluido el cero (cardinales finitos), seguidos de los números aleph (cardinales infinitos de conjuntos bien ordenados ). Los números de aleph están indexados por números ordinales . Bajo el supuesto del axioma de elección , esta secuencia transfinita incluye todos los números cardinales. Si uno rechaza ese axioma, la situación es más complicada, con infinitos cardenales adicionales que no son alephs.
La cardinalidad se estudia por sí misma como parte de la teoría de conjuntos . También es una herramienta utilizada en las ramas de las matemáticas, incluida la teoría de modelos , la combinatoria , el álgebra abstracta y el análisis matemático . En la teoría de categorías , los números cardinales forman un esqueleto de la categoría de conjuntos .
Historia
La noción de cardinalidad, como se entiende ahora, fue formulada por Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , en 1874-1884. La cardinalidad se puede utilizar para comparar un aspecto de conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {4,5,6} no son iguales , pero tienen la misma cardinalidad , es decir, tres. Esto se establece por la existencia de una biyección (es decir, una correspondencia uno a uno) entre los dos conjuntos, como la correspondencia {1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.
Cantor aplicó su concepto de biyección a conjuntos infinitos [2] (por ejemplo, el conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}). Por lo tanto, llamó a todos los conjuntos que tienen una biyección con N conjuntos numerables (infinitos contables) , que comparten el mismo número cardinal. Este número cardinal se llama, aleph-null . Llamó a los números cardinales de conjuntos infinitos números cardinales transfinitos .
Cantor demostró que cualquier subconjunto ilimitado de N tiene la misma cardinalidad que N , aunque esto pueda parecer contrario a la intuición. También demostró que el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales es numerable; esto implica que el conjunto de todos los números racionales también es numerable, ya que cada racional puede representarse mediante un par de números enteros. Más tarde demostró que el conjunto de todos los números algebraicos reales también es numerable. Cada número algebraico real z puede codificarse como una secuencia finita de enteros, que son los coeficientes en la ecuación polinómica de la que es una solución, es decir, el n-tuplo ordenado ( a 0 , a 1 , ..., a n ) , a i ∈ Z junto con un par de racionales ( b 0 , b 1 ) tal que z es la raíz única del polinomio con coeficientes ( a 0 , a 1 , ..., a n ) que se encuentra en el intervalo ( b 0 , b 1 ).
En su papel 1874 " en una propiedad de la colección de números algebraicos Todo Real ", Cantor demostró que existen números cardinales de orden superior, al mostrar que el conjunto de números reales tiene cardinalidad mayor que la de N . Su demostración usó un argumento con intervalos anidados , pero en un artículo de 1891, demostró el mismo resultado usando su ingenioso pero más simple argumento diagonal . El nuevo número cardinal del conjunto de números reales se llama cardinalidad del continuo y Cantor usó el símbolo para ello.
Cantor también desarrolló una gran parte de la teoría general de los números cardinales; demostró que hay un número cardinal transfinito más pequeño (, aleph-null), y que para cada número cardinal hay un cardinal siguiente más grande
Su hipótesis del continuo es la proposición de que es lo mismo que . Se ha descubierto que esta hipótesis es independiente de los axiomas estándar de la teoría matemática de conjuntos; no se puede probar ni refutar a partir de los supuestos estándar.
Motivación
En el uso informal, un número cardinal es lo que normalmente se denomina un número de conteo , siempre que se incluya 0: 0, 1, 2, .... Pueden identificarse con los números naturales que comienzan con 0. Los números de conteo son exactamente lo que se puede definir formalmente como los números cardinales finitos . Los cardinales infinitos solo ocurren en matemáticas y lógica de nivel superior .
Más formalmente, un número distinto de cero se puede utilizar para dos propósitos: describir el tamaño de un conjunto o describir la posición de un elemento en una secuencia. Para conjuntos y secuencias finitos, es fácil ver que estas dos nociones coinciden, ya que para cada número que describe una posición en una secuencia podemos construir un conjunto que tenga exactamente el tamaño correcto. Por ejemplo, 3 describe la posición de 'c' en la secuencia <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, y podemos construir el conjunto {a, b, c}, que tiene 3 elementos.
Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos , es esencial distinguir entre los dos, ya que las dos nociones son de hecho diferentes para conjuntos infinitos. Considerar el aspecto de la posición conduce a números ordinales , mientras que el aspecto de tamaño se generaliza mediante los números cardinales descritos aquí.
La intuición detrás de la definición formal de cardinal es la construcción de una noción del tamaño relativo o "grandeza" de un conjunto, sin referencia al tipo de miembros que tiene. Para conjuntos finitos esto es fácil; uno simplemente cuenta el número de elementos que tiene un conjunto. Para comparar los tamaños de conjuntos más grandes, es necesario apelar a nociones más refinadas.
Un conjunto Y es al menos tan grande como un conjunto X si hay un inyectiva cartografía de los elementos de X a los elementos de Y . Se identifica mapeo inyectivos cada elemento del conjunto X con un elemento único del conjunto Y . Esto se comprende más fácilmente con un ejemplo; supongamos que tenemos los conjuntos X = {1,2,3} e Y = {a, b, c, d}, luego usando esta noción de tamaño, observaríamos que hay un mapeo:
- 1 → a
- 2 → b
- 3 → c
que es inyectiva, y por lo tanto concluir que Y tiene mayor cardinalidad que o igual a X . El elemento d no tiene un mapeo de elementos, pero esto está permitido ya que solo requerimos un mapeo inyectivo, y no necesariamente un mapeo inyectivo y sobre . La ventaja de esta noción es que puede extenderse a conjuntos infinitos.
Entonces podemos extender esto a una relación de estilo de igualdad. Dos conjuntos de X y de Y se dice que tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre X y Y . Por el teorema de Schroeder-Bernstein , esto es equivalente a que hay tanto una asignación inyectiva de X a Y , y una asignación de inyectiva de Y a X . Luego escribimos | X | = | Y |. El número cardinal de X en sí mismo a menudo se define como el menos ordinal a con | a | = | X |. [3] Esto se llama asignación cardinal de von Neumann ; para que esta definición tenga sentido, debe probarse que todo conjunto tiene la misma cardinalidad que algún ordinal; esta declaración es el principio del buen orden . Sin embargo, es posible discutir la cardinalidad relativa de conjuntos sin asignar explícitamente nombres a los objetos.
El ejemplo clásico utilizado es el de la paradoja del hotel infinito, también llamada paradoja de Hilbert del Gran Hotel . Supongamos que hay un posadero en un hotel con un número infinito de habitaciones. El hotel está lleno y luego llega un nuevo huésped. Es posible acomodar al huésped adicional pidiendo al huésped que estaba en la habitación 1 que se mueva a la habitación 2, al huésped de la habitación 2 que se mueva a la habitación 3, y así sucesivamente, dejando la habitación 1 vacía. Podemos escribir explícitamente un segmento de este mapeo:
- 1 → 2
- 2 → 3
- 3 → 4
- ...
- n → n + 1
- ...
Con esta asignación, podemos ver que el conjunto {1,2,3, ...} tiene la misma cardinalidad que el conjunto {2,3,4, ...}, ya que una biyección entre el primero y el segundo tiene se ha mostrado. Esto motiva la definición de un conjunto infinito como cualquier conjunto que tenga un subconjunto propio de la misma cardinalidad (es decir, un conjunto infinito de Dedekind ); en este caso, {2,3,4, ...} es un subconjunto propio de {1,2,3, ...}.
Al considerar estos objetos grandes, también se puede querer ver si la noción de orden de conteo coincide con la de cardinal definida anteriormente para estos conjuntos infinitos. Sucede que no es así; al considerar el ejemplo anterior, podemos ver que si existe algún objeto "uno mayor que el infinito", entonces debe tener la misma cardinalidad que el conjunto infinito con el que comenzamos. Es posible utilizar una noción formal diferente para el número, denominada ordinales , basada en las ideas de contar y considerar cada número por turno, y descubrimos que las nociones de cardinalidad y ordinalidad son divergentes una vez que salimos de los números finitos.
Se puede demostrar que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales que acabamos de describir. Esto se puede visualizar usando el argumento diagonal de Cantor ; Las cuestiones clásicas de cardinalidad (por ejemplo, la hipótesis del continuo ) se ocupan de descubrir si hay algún cardinal entre algún par de otros infinitos cardinales. En tiempos más recientes, los matemáticos han estado describiendo las propiedades de cardenales cada vez más grandes.
Dado que la cardinalidad es un concepto tan común en matemáticas, se utilizan una variedad de nombres. La igualdad de cardinalidad a veces se denomina equipotencia , equipollencia o equinumerosidad . Por tanto, se dice que dos conjuntos con la misma cardinalidad son, respectivamente, equipotentes , equipollentes o equinumeros .
Definicion formal
Formalmente, asumiendo el axioma de elección , la cardinalidad de un conjunto X es el menor número ordinal α tal que existe una biyección entre X y α. Esta definición se conoce como asignación cardinal de von Neumann . Si no se asume el axioma de elección, se necesita un enfoque diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica ) es como la clase [ X ] de todos los conjuntos que son equinumerous con X . Esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque si X no está vacío, esta colección es demasiado grande para ser un conjunto. De hecho, para X ≠ ∅ hay una inyección del universo en [ X ] al mapear un conjunto m a { m } × X , y por lo tanto, según el axioma de limitación de tamaño , [ X ] es una clase adecuada. Sin embargo, la definición funciona en la teoría de tipos y en los nuevos fundamentos y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a aquellos equinumerosos con X que tienen el menor rango , entonces funcionará (este es un truco debido a Dana Scott : [4] funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto ).
Formalmente, el orden entre los números cardinales se define de la siguiente manera: | X | ≤ | Y | significa que existe una inyectiva función de X a Y . El teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder establece que si | X | ≤ | Y | y | Y | ≤ | X | entonces | X | = | Y |. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que dados dos conjuntos X e Y , o | X | ≤ | Y | o | Y | ≤ | X |. [5] [6]
Un conjunto X es Dedekind-infinito si existe un subconjunto Y adecuado de X con | X | = | Y |, y Dedekind-finite si tal subconjunto no existe. Los cardinales finitos son simplemente números naturales , en el sentido de que un conjunto X es finito si y solo si | X | = | n | = n para algún número natural n . Cualquier otro conjunto es infinito .
Asumiendo el axioma de elección, se puede probar que las nociones de Dedekind corresponden a las estándar. También se puede probar que el cardenal( aleph null o aleph-0, donde aleph es la primera letra del alfabeto hebreo , representada) del conjunto de números naturales es el cardinal infinito más pequeño (es decir, cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto de cardinalidad ). El siguiente cardenal más grande se denota por, y así. [1] Para cada α ordinal , hay un número cardinal y esta lista agota todos los números cardinales infinitos.
Aritmética cardinal
Podemos definir operaciones aritméticas sobre números cardinales que generalicen las operaciones ordinarias para números naturales. Se puede demostrar que para los cardinales finitos, estas operaciones coinciden con las operaciones habituales para los números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria.
Cardenal sucesor
Si se cumple el axioma de elección, entonces cada cardinal κ tiene un sucesor, denotado κ + , [1] donde κ + > κ y no hay cardinales entre κ y su sucesor. (Sin el axioma de elección, usando el teorema de Hartogs , se puede demostrar que para cualquier número cardinal κ, existe un κ + cardinal mínimo tal que) Para los cardenales finitos, el sucesor es simplemente κ + 1. Para los cardenales infinitos, el cardenal sucesor difiere del ordinal sucesor .
Adición cardinal
Si X y Y son disjuntos , además está dada por la unión de X y Y . Si los dos conjuntos aún no están disjuntos, pueden ser reemplazados por conjuntos disjuntos de la misma cardinalidad (por ejemplo, reemplace X por X × {0} e Y por Y × {1}).
El cero es una identidad aditiva κ + 0 = 0 + κ = κ .
La suma es asociativa ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).
La suma es conmutativa κ + μ = μ + κ .
La suma no es decreciente en ambos argumentos:
Suponiendo el axioma de elección, la suma de números cardinales infinitos es fácil. Si κ o μ es infinito, entonces
Sustracción
Asumiendo el axioma de elección y, dado un cardinal infinito σ y un cardinal μ , existe un cardinal κ tal que μ + κ = σ si y solo si μ ≤ σ . Será único (e igual a σ ) si y solo si μ < σ .
Multiplicación cardinal
El producto de los cardenales proviene del producto cartesiano .
κ · 0 = 0 · κ = 0.
κ · μ = 0 → ( κ = 0 o μ = 0).
Uno es una identidad multiplicativa κ · 1 = 1 · κ = κ .
La multiplicación es asociativa ( κ · μ ) · ν = κ · ( μ · ν ).
La multiplicación es conmutativa κ · μ = μ · κ .
La multiplicación no es decreciente en ambos argumentos: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν y ν · κ ≤ ν · μ ).
La multiplicación se distribuye sobre la suma: κ · ( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν y ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ .
Suponiendo el axioma de elección, la multiplicación de números cardinales infinitos también es fácil. Si κ o μ es infinito y ambos son distintos de cero, entonces
División
Suponiendo el axioma de elección y, dado un π cardinal infinito y un μ cardinal distinto de cero , existe un κ cardinal tal que μ · κ = π si y solo si μ ≤ π . Será único (e igual a π ) si y solo si μ < π .
Exponenciación cardinal
La exponenciación está dada por
donde X Y es el conjunto de todas las funciones de Y a X . [1]
- κ 0 = 1 (en particular 0 0 = 1), ver función vacía .
- Si 1 ≤ μ , entonces 0 μ = 0.
- 1 μ = 1.
- κ 1 = κ .
- κ μ + ν = κ μ · κ ν .
- κ μ · ν = ( κ μ ) ν .
- ( κ · μ ) ν = κ ν · μ ν .
La exponenciación no es decreciente en ambos argumentos:
- (1 ≤ ν y κ ≤ μ ) → ( ν κ ≤ ν μ ) y
- ( κ ≤ μ ) → ( κ ν ≤ μ ν ).
2 | X | es la cardinalidad del conjunto de potencias del conjunto X y el argumento diagonal de Cantor muestra que 2 | X | > | X | para cualquier conjunto X . Esto prueba que no existe un cardenal más grande (porque para cualquier cardinal κ , siempre podemos encontrar un cardinal 2 κ más grande ). De hecho, la clase de cardenales es una clase adecuada . (Esta prueba falla en algunas teorías establecidas, especialmente en los Nuevos Fundamentos ).
Todas las proposiciones restantes en esta sección asumen el axioma de elección:
- Si κ y μ son finitos y mayores que 1, y ν es infinito, entonces κ ν = μ ν .
- Si κ es infinito y μ es finito y distinto de cero, entonces κ μ = κ .
Si 2 ≤ κ y 1 ≤ μ y al menos uno de ellos es infinito, entonces:
- Máx ( κ , 2 μ ) ≤ κ μ ≤ Máx (2 κ , 2 μ ).
Usando el teorema de König , se puede probar κ < κ cf ( κ ) y κ
Raíces
Suponiendo el axioma de elección y, dado un κ cardinal infinito y un μ cardinal finito mayor que 0, el ν cardinal satisface estarán .
Logaritmos
Suponiendo el axioma de elección y, dado un κ cardinal infinito y un μ cardinal finito mayor que 1, puede haber o no un λ cardinal que satisfaga. Sin embargo, si tal cardinal existe, es infinito y menor que κ , y cualquier cardinalidad finita ν mayor que 1 también satisfará.
El logaritmo de un número cardinal infinito κ se define como el menor número cardinal μ tal que κ ≤ 2 μ . Los logaritmos de infinitos cardinales son útiles en algunos campos de las matemáticas, por ejemplo, en el estudio de cardinales invariantes de espacios topológicos , aunque carecen de algunas de las propiedades que poseen los logaritmos de números reales positivos. [7] [8] [9]
La hipótesis del continuo
La hipótesis del continuo (CH) establece que no hay cardinales estrictamente entre y El último número cardinal también se denota a menudo por ; es la cardinalidad del continuo (el conjunto de números reales ). En este caso[1] La hipótesis del continuo generalizado (GCH) establece que para cada conjunto infinito X , no hay cardinales estrictamente entre | X | y 2 | X | . La hipótesis del continuo es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección ( ZFC ).
Ver también
- Número de Aleph
- Beth número
- La paradoja del mayor cardenal
- Número cardinal (lingüística)
- Contando
- Principio de inclusión-exclusión
- Cardenal grande
- Nombres de números en inglés
- Número nominal
- Número ordinal
- Cardenal regular
Referencias
Notas
- ^ a b c d e "Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
- ^ Dauben 1990 , pág. 54
- ^ Weisstein, Eric W. "Número cardinal" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
- ^ Deiser, Oliver (mayo de 2010). "Sobre el desarrollo de la noción de número cardinal". Historia y Filosofía de la Lógica . 31 (2): 123–143. doi : 10.1080 / 01445340903545904 .
- ^ Enderton, Herbert. "Elementos de la teoría de conjuntos", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7
- ^ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein ; Walther von Dyck ; David Hilbert ; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung" , Math. Ana. , Leipzig: B. G. Teubner, Bd. 76 (4): 438–443, doi : 10.1007 / bf01458215 , ISSN 0025-5831 , archivado desde el original el 16 de abril de 2016 , consultado el 2 de febrero de 2014
- ^ Robert A. McCoy e Ibula Ntantu, Propiedades topológicas de espacios de funciones continuas, Notas de conferencias en matemáticas 1315, Springer-Verlag .
- ↑ Eduard Čech , Topological Spaces, revisado por Zdenek Frolík y Miroslav Katetov, John Wiley & Sons, 1966.
- ^ DA Vladimirov, Álgebras booleanas en análisis, matemáticas y sus aplicaciones, Kluwer Academic Publishers.
Bibliografía
- Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
- Hahn, Hans , Infinity , Parte IX, Capítulo 2, Volumen 3 de El mundo de las matemáticas . Nueva York: Simon y Schuster, 1956.
- Halmos, Paul , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
enlaces externos
- "Número cardinal" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]