En matemáticas, el teorema del subespacio dice que los puntos de pequeña altura en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos . Es un resultado obtenido por Wolfgang M. Schmidt ( 1972 ).
Declaración
El teorema del subespacio establece que si L 1 , ..., L n son formas lineales independientes linealmente en n variables con coeficientes algebraicos y si ε> 0 es cualquier número real dado, entonces el entero distinto de cero señala x con
se encuentran en un número finito de subespacios propios de Q n .
Schmidt también obtuvo una forma cuantitativa del teorema, en la que el número de subespacios que contienen todas las soluciones, y Schlickewei (1977) generalizó el teorema para permitir valores absolutos más generales en campos numéricos .
Aplicaciones
El teorema se puede usar para obtener resultados en Diophantine ecuaciones tales como el teorema de Siegel en puntos integrales y solución de la ecuación S-unidad . [1]
Un corolario de la aproximación diofántica
El siguiente corolario del teorema del subespacio a menudo se denomina teorema del subespacio . Si a 1 , ..., a n son algebraicos tales que 1, a 1 , ..., a n son linealmente independientes sobre Q y ε> 0 es cualquier número real dado, entonces solo hay un número finito de n- tuplas racionales ( x 1 / y, ..., x n / y) con
La especialización n = 1 da el teorema de Thue-Siegel-Roth . También se puede notar que el exponente 1 + 1 / n + ε es mejor posible por el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofántica .
Referencias
- ^ Bombieri y Gubler (2006) págs. 176-230.
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Señor 2216774 . Zbl 1130.11034 .
- Schlickewei, Hans Peter (1977). "En ecuaciones en forma de norma" . J. Teoría de números . 9 (3): 370–380. doi : 10.1016 / 0022-314X (77) 90072-5 . Señor 0444562 .
- Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Ecuaciones en forma de norma". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 96 (3): 526–551. doi : 10.2307 / 1970824 . JSTOR 1970824 . Señor 0314761 .
- Schmidt, Wolfgang M. (1980). Aproximación diofántica . Apuntes de clase en matemáticas. 785 (1996 con correcciones menores ed.). Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-540-38645-2 . ISBN 3-540-09762-7. Señor 0568710 . Zbl 0421.10019 .
- Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de clase en matemáticas. 1467 . Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / BFb0098246 . ISBN 3-540-54058-X. Señor 1176315 . Zbl 0754.11020 .