Unidad S
En matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , una unidad S generaliza la idea de unidad del anillo de números enteros del campo. Muchos de los resultados que son válidos para las unidades también son válidos para las unidades S.
Definición
Deje que K sea un campo de número con el anillo de los enteros R . Deje que S sea un conjunto finito de ideales primos de R . Un elemento x de K es una unidad S si el ideal fraccionario principal ( x ) es un producto de primos en S (a potencias positivas o negativas). Para el anillo de enteros racionales Z, uno puede tomar S como un conjunto finito de números primos y definir una unidad S como un número racional.cuyo numerador y denominador son divisible sólo por los números primos en S .
Propiedades
Los S -Unidades forman un multiplicativo grupo que contiene las unidades de R .
El teorema de la unidad de Dirichlet es válido para S -unidades: el grupo de S -unidades se genera finitamente , con rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a r + s , donde r es el rango del grupo unitario ys = | S |.
Ecuación de unidad S
La ecuación de la unidad S es una ecuación diofántica
- u + v = 1
con u y v restringido a ser S -Unidades de K . El número de soluciones de esta ecuación es finito [ cita requerida ] y las soluciones se determinan efectivamente usando estimaciones para formas lineales en logaritmos como se desarrolló en la teoría de números trascendental . Una variedad de ecuaciones diofánticas se pueden reducir en principio a alguna forma de la ecuación de unidad S : un ejemplo notable es el teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas elípticas , y más generalmente curvas superelípticas de la forma y n = f ( x ).
Un solucionador computacional para la ecuación de la unidad S está disponible en el software SageMath . [1]
Referencias
- ^ "Resolver ecuación de unidad S x + y = 1 - Manual de referencia de Sage v8.7: Números algebraicos y campos numéricos" . doc.sagemath.org . Consultado el 16 de abril de 2019 .
- Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 19-22. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- Lang, Serge (1978). Curvas elípticas: análisis diofantino . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 231 . Springer-Verlag . págs. 128-153. ISBN 3-540-08489-4.
- Lang, Serge (1986). Teoría algebraica de números . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4.Cap. V.
- Smart, Nigel (1998). La resolución algorítmica de las ecuaciones diofánticas . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 41 . Prensa de la Universidad de Cambridge . Cap. 9 . ISBN 0-521-64156-X.
- Neukirch, Jürgen (1986). Teoría del campo de clases . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 280 . Springer-Verlag . págs. 72–73. ISBN 3-540-15251-2.
Otras lecturas
- Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 9 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-88268-2.
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Teoría algebraica de números
