En la física teórica y matemáticas , un Wess-Zumino-Witten ( WZW ) modelo , también llamado un modelo de Wess-Zumino-Novikov-Witten , es un tipo de teoría de campo conformal bidimensional nombre de Julius Wess , Bruno Zumino , Sergei Novikov y Edward Witten . [1] [2] [3] [4] Un modelo WZW está asociado a un grupo de Lie (o supergrupo ), y su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del correspondienteÁlgebra de mentiras (o superalgebra de mentiras ). Por extensión, el nombre modelo WZW se usa a veces para cualquier teoría de campo conforme cuya álgebra de simetría sea un álgebra de Lie afín. [5]
Acción
Definición
Para una superficie de Riemann ,un grupo de mentiras , y un número (generalmente complejo), definamos el -Modelo WZW encendido al nivel . El modelo es un modelo sigma no lineal cuya acción es funcional de un campo:
Aquí, está equipado con una métrica euclidiana plana ,es la derivada parcial , yes la forma de matar en el álgebra de Lie de. El término Wess-Zumino de la acción es
Aquí es el tensor completamente antisimétrico , yes el soporte de Lie . El término de Wess-Zumino es una integral sobre una variedad tridimensional cuyo límite es .
Propiedades topológicas del término de Wess-Zumino
Para que el término Wess-Zumino tenga sentido, necesitamos el campo tener una extensión para . Esto requiere el grupo de homotopía. ser trivial, que es el caso en particular de cualquier grupo compacto de Lie .
La extensión de un determinado a en general, no es único. Para que el modelo WZW esté bien definido,no debe depender de la elección de la extensión. El término de Wess-Zumino es invariante bajo pequeñas deformaciones de, y solo depende de su clase de homotopía . Las posibles clases de homotopía están controladas por el grupo de homotopía..
Para cualquier grupo Lie simple compacto y conectado , tenemos y diferentes extensiones de conducir a valores de que se diferencian por números enteros. Por lo tanto, conducen al mismo valor de siempre que el nivel obedezca
Los valores enteros del nivel también juegan un papel importante en la teoría de representación del álgebra de simetría del modelo, que es un álgebra de Lie afín . Si el nivel es un número entero positivo, el álgebra de Lie afín tiene representaciones unitarias de mayor peso con pesos más altos que son integrales dominantes. Tales representaciones se descomponen en subrepresentaciones de dimensión finita con respecto a las subálgebras abarcadas por cada raíz simple , la raíz negativa correspondiente y su conmutador, que es un generador de Cartan .
En el caso del grupo de Lie simple no compacto , el grupo de homotopía es trivial y el nivel no está limitado a ser un número entero. [6]
Interpretación geométrica del término de Wess-Zumino
Si e a son los vectores base para el álgebra de Lie , entoncesson las constantes de estructura del álgebra de Lie. Las constantes de estructura son completamente anti-simétrica, y por lo tanto definen una 3-forma en el colector de grupo de G . Por lo tanto, el integrando de arriba es solo el retroceso de la forma armónica de 3 a la bolaDenotando la forma armónica 3 por cy el retroceso por uno entonces tiene
Esta forma conduce directamente a un análisis topológico del término WZ.
Geométricamente, este término describe la torsión del colector respectivo. [7] La presencia de esta torsión obliga al teleparallelismo de la variedad y, por lo tanto, a la trivialización del tensor de curvatura torsionful ; y, por tanto, la detención del flujo de renormalización, un punto fijo infrarrojo del grupo de renormalización , un fenómeno denominado geometrostasis .
Álgebra de simetría
Simetría de grupo generalizada
El modelo de Wess-Zumino-Witten no solo es simétrico bajo transformaciones globales por un elemento de grupo en , pero también tiene una simetría mucho más rica. Esta simetría a menudo se llamasimetría. [8] Es decir, dado cualquier holomorfo-función valorada , y cualquier otro (completamente independiente de ) antiholomórfico -función valorada , donde hemos identificado y en términos de las coordenadas del espacio euclidiano , se cumple la siguiente simetría:
Una forma de probar la existencia de esta simetría es mediante la aplicación repetida de la identidad de Polyakov-Wiegmann con respecto a los productos de -campos valorados:
Las corrientes holomorfas y anti-holomorfas y son las corrientes conservadas asociadas con esta simetría. El comportamiento singular de los productos de estas corrientes con otros campos cuánticos determina cómo esos campos se transforman bajo acciones infinitesimales del grupo.
Álgebra de mentiras afines
Dejar ser una coordenada local compleja en , una base ortonormal (con respecto a la forma Killing ) del álgebra de Lie de, y la cuantificación del campo . Contamos con la siguiente expansión de productos de operador :
dónde son los coeficientes tales que . De manera equivalente, si se expande en modos
entonces el álgebra actual generada pores el álgebra de Lie afín asociada al álgebra de Lie de, con un nivel que coincide con el nivel del modelo WZW. [5] Si, la notación para el álgebra de Lie afín es . Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie afín son
Este álgebra de Lie afín es el álgebra de simetría quiral asociada a las corrientes que se mueven a la izquierda. . Una segunda copia del mismo álgebra de Lie afín está asociada a las corrientes que se mueven hacia la derecha.. Los generadoresde esa segunda copia son antiholomórficos. El álgebra de simetría completa del modelo WZW es el producto de las dos copias del álgebra de Lie afín.
Construcción de Sugawara
La construcción de Sugawara es una incrustación del álgebra de Virasoro en el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie afín. La existencia de la incrustación muestra que los modelos WZW son teorías de campo conformes. Además, conduce a ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov para funciones de correlación.
La construcción de Sugawara está escrita de manera más concisa al nivel de las corrientes: para el álgebra de Lie afín, y el tensor de energía-momento para el álgebra de Virasoro:
donde el denota un orden normal, y es el número dual de Coxeter . Utilizando el OPE de las corrientes y una versión del teorema de Wick, se puede deducir que el OPE deconsigo mismo viene dado por [5]
que es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro. La carga central del álgebra de Virasoro se da en términos del nivel del álgebra de mentira afín por
En el nivel de los generadores del álgebra de Lie afín, la construcción de Sugawara dice
donde los generadores del álgebra de Virasoro son los modos del tensor de energía-momento, .
Espectro
Modelos WZW con grupos compactos y simplemente conectados
Si el grupo de Lie es compacto y está simplemente conectado, entonces el modelo WZW es racional y diagonal: racional porque el espectro se construye a partir de un conjunto finito (dependiente del nivel) de representaciones irreducibles del álgebra de Lie afín llamadas representaciones integrables de mayor peso y diagonal porque una del álgebra que se mueve hacia la izquierda se combina con la misma representación del álgebra que se mueve hacia la derecha. [5]
Por ejemplo, el espectro del Modelo WZW a nivel es
dónde es la representación afín de mayor peso del efecto : una representación generada por un estado tal que
dónde es la corriente que corresponde a un generador del álgebra de Lie de .
Modelos WZW con otro tipo de grupos
Si el grupo es compacto pero no está simplemente conectado, el modelo WZW es racional pero no necesariamente diagonal. Por ejemplo, el El modelo WZW existe para niveles enteros pares , y su espectro es una combinación no diagonal de un número finito de representaciones integrables de mayor peso. [5]
Si el grupo no es compacto, el modelo WZW no es racional. Además, su espectro puede incluir representaciones de peso no más alto. Por ejemplo, el espectro delEl modelo WZW se construye a partir de representaciones de mayor peso, más sus imágenes bajo los automorfismos de flujo espectral del álgebra de Lie afín. [6]
Si es un supergrupo , el espectro puede involucrar representaciones que no se factorizan como productos tensoriales de representaciones de las álgebras de simetría que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. Esto ocurre, por ejemplo, en el caso, [9] y también en supergrupos más complicados como. [10] Las representaciones no factorizables son responsables del hecho de que los modelos WZW correspondientes son teorías de campo logarítmicas conformes .
Otras teorías basadas en álgebras de Lie afines
Las teorías de campos conformes conocidas basadas en álgebras de Lie afines no se limitan a los modelos WZW. Por ejemplo, en el caso del álgebra de Lie afín del Modelo WZW, las funciones modulares de partición de toro invariante obedecen a una clasificación ADE, donde el El modelo WZW solo tiene en cuenta la serie A. [11] La serie D corresponde a la Modelo WZW, y la serie E no corresponde a ningún modelo WZW.
Otro ejemplo es el modelo. Este modelo se basa en el mismo álgebra de simetría que elModelo WZW, al que se relaciona por rotación de Wick. sin embargo, el no es estrictamente hablando un modelo WZW, ya que no es un grupo, sino una clase lateral. [12]
Campos y funciones de correlación
Campos
Dada una simple representación del álgebra de Lie de , un campo primario afín es un campo que toma valores en el espacio de representación de , tal que
Un campo primario afín es también un campo primario para el álgebra de Virasoro que resulta de la construcción de Sugawara. La dimensión conforme del campo primario afín se da en términos de la cuadrática Casimir de la representación (es decir, el valor propio del elemento cuadrático de Casimir dónde es la inversa de la matriz de la forma de matar) por
Por ejemplo, en el Modelo WZW, la dimensión conforme de un campo primario de espín es
Por la correspondencia estado-campo, los campos primarios afines corresponden a estados primarios afines , que son los estados de mayor peso de las representaciones de mayor peso del álgebra de Lie afín.
Funciones de correlación
Si el grupo es compacto, el espectro del modelo WZW está hecho de representaciones de peso más alto y todas las funciones de correlación se pueden deducir de las funciones de correlación de campos primarios afines a través de identidades de Ward .
Si la superficie de Riemann es la esfera de Riemann, las funciones de correlación de campos primarios afines obedecen a las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . En superficies de Riemann de género superior, las funciones de correlación obedecen a las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard , que involucran derivadas no solo de las posiciones de los campos, sino también de los módulos de la superficie. [13]
Modelos WZW calibrados
Dado un subgrupo de mentiras , la El modelo WZW calibrado (o modelo coset ) es un modelo sigma no lineal cuyo espacio objetivo es el cocientepor la acción adjunta de en . Este modelo WZW calibrado es una teoría de campo conforme, cuya álgebra de simetría es un cociente de las dos álgebras de Lie afines de la y Modelos WZW, y cuya carga central es la diferencia de sus cargas centrales.
Aplicaciones
El modelo WZW cuyo grupo Lie es la portada universal del grupoha sido utilizado por Juan Maldacena e Hirosi Ooguri para describir la teoría de cuerdas bosónicas en el espacio tridimensional anti-de Sitter . [6] Supercuerdas en son descritos por el modelo WZW en el supergrupo , o una deformación del mismo si el fundente Ramond-Ramond está encendido. [14] [10]
Se han propuesto modelos WZW y sus deformaciones para describir la transición de meseta en el efecto Hall cuántico entero . [15]
La El modelo WZW calibrado tiene una interpretación en la teoría de cuerdas como el agujero negro euclidiano bidimensional de Witten . [16] El mismo modelo también describe ciertos sistemas estadísticos bidimensionales en criticidad, como el modelo crítico antiferromagnético de Potts . [17]
Referencias
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