En matemáticas y especialmente en teoría de números , la suma de recíprocos generalmente se calcula para los recíprocos de algunos o todos los números enteros positivos (números contables), es decir, generalmente es la suma de fracciones unitarias . Si infinitos números tienen sus recíprocos sumados, generalmente los términos se dan en una secuencia determinada y se suman los primeros n de ellos, luego se incluye uno más para dar la suma de los primeros n +1 de ellos, etc.
Si solo se incluyen una cantidad finita de números, la cuestión clave suele ser encontrar una expresión simple para el valor de la suma, o exigir que la suma sea menor que cierto valor, o determinar si la suma es alguna vez un número entero.
Para una serie infinita de recíprocos, los problemas son dos: primero, ¿ diverge la secuencia de sumas , es decir, eventualmente excede cualquier número dado, o converge , lo que significa que hay algún número al que se acerca arbitrariamente sin nunca excediéndolo? (Se dice que un conjunto de números enteros positivos es grande si la suma de sus recíprocos diverge, y pequeño si converge). Segundo, si converge, ¿cuál es una expresión simple para el valor al que converge, es ese valor racional o irracional? , y ese valor es algebraico o trascendental ? [1]
Esta identidad fue descubierta por Johann Bernoulli en 1697 y ahora se conoce como una de las dos identidades soñadas de los estudiantes de segundo año.