El infinito superior
The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings es una monografía sobre la teoría de conjuntos de Akihiro Kanamori , sobre la historia y la teoría de los grandes cardenales , conjuntos infinitos caracterizados por propiedades tan fuertes que su existencia no puede ser probada en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. (ZFC). [1] Este libro fue publicado en 1994 por Springer-Verlag en su serie Perspectives in Mathematical Logic, con una segunda edición en 2003 en su serie Springer Monographs in Mathematics, [2] y una reimpresión en rústica de la segunda edición en 2009 ( ISBN 978-3-540-88866-6 ).[3]
Temas
Sin contar el material introductorio y los apéndices, hay seis capítulos en The Higher Infinite , ordenados aproximadamente en orden cronológico según la historia del desarrollo del tema. El autor escribe que eligió este orden "tanto porque proporciona la exposición más coherente de las matemáticas como porque contiene la clave de cualquier preocupación epistemológica". [1] [4]
En el primer capítulo, "Comienzos", [4] el material incluye cardenales inaccesibles , cardenales Mahlo , cardenales mensurables , cardenales compactos e indescriptibles cardenales . El capítulo cubre el universo construible y los modelos internos , incrustaciones elementales y ultrapoderes , y un resultado de Dana Scott de que los cardenales medibles son inconsistentes con el axioma de la constructibilidad . [5] [6]
El segundo capítulo, "Propiedades de la partición", [4] incluye el cálculo de partición de Paul Erdős y Richard Rado , árboles y árboles de Aronszajn , el estudio teórico del modelo de grandes cardenales y la existencia del conjunto 0 # de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles . También incluye cardenales de Jónsson y cardenales de Rowbottom . [5] [6]
A continuación se encuentran dos capítulos sobre "Forzamiento y conjuntos de reales" y "Aspectos de mensurabilidad". [4] El tema principal del primero de estos capítulos es el forzamiento , una técnica introducida por Paul Cohen para demostrar la coherencia y los resultados de la inconsistencia en la teoría de conjuntos; también incluye material de teoría descriptiva de conjuntos . El segundo de estos capítulos cubre la aplicación del forzamiento por Robert M. Solovay para probar la consistencia de los cardinales mensurables y los resultados relacionados utilizando nociones más fuertes del forzamiento. [5]
El capítulo cinco es "Hipótesis sólidas". [4] Incluye material sobre cardenales supercompactos y sus propiedades de reflexión, sobre enormes cardenales , sobre el principio de Vopěnka , [5] sobre cardenales extensibles , sobre cardenales fuertes y sobre cardenales de Woodin . [6] El libro concluye con el capítulo "Determinación", [4] que involucra el axioma de la determinación y la teoría de los juegos infinitos. [5] El revisor Frank R. Drake analiza este capítulo y la prueba que en él hace Donald A. Martin del teorema de la determinación de Borel., como central para Kanamori, "un triunfo para la teoría que presenta". [7]
Aunque las citas que expresan las posiciones filosóficas de los investigadores en esta área aparecen a lo largo del libro, [1] una cobertura más detallada de temas en la filosofía de las matemáticas con respecto a los fundamentos de las matemáticas se remiten a un apéndice. [8]
Audiencia y recepción
El crítico Pierre Matet escribe que este libro "sin duda servirá durante muchos años como la principal referencia para los grandes cardenales", [4] y los críticos Joel David Hamkins , Azriel Lévy y Philip Welch expresan sentimientos similares. [1] [6] [8] Hamkins escribe que el libro está "lleno de conocimiento histórico, escritura clara, teoremas interesantes y pruebas elegantes". [1] Debido a que este tema utiliza muchas de las herramientas importantes de la teoría de conjuntos de manera más general, Lévy recomienda el libro "a cualquiera que quiera comenzar a investigar en teoría de conjuntos", [6] y Welch lo recomienda a todas las bibliotecas universitarias. [8]
Referencias
- ^ a b c d e Hamkins, Joel David (agosto de 2000), "Revisión del infinito superior ", Studia Logica , 65 (3): 443–446, JSTOR 20016207
- ^ MR 1994835 ; Zbl 1022.03033
- ^ MR 2731169 ; Zbl 1154.03033
- ^ a b c d e f g Matet, Pierre (1996), "Revisión del infinito superior ", Revisiones matemáticas , MR 1321144
- ^ a b c d e Weese, M., "Revisión del infinito superior ", zbMATH , Zbl 0813.03034
- ↑ a b c d e Lévy, Azriel (marzo de 1996), "Review of The Higher Infinite ", Journal of Symbolic Logic , 61 (1): 334–336, doi : 10.2307 / 2275615 , JSTOR 2275615
- ↑ Drake, FR (1997), "Review of The Higher Infinite ", Boletín de la London Mathematical Society , 29 (1): 111-113, doi : 10.1112 / S0024609396221678
- ^ a b c Welch, PD (febrero de 1998), "Review of The Higher Infinite ", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society , 41 (1): 208-209, doi : 10.1017 / s0013091500019532
enlaces externos
- The Higher Infinite (primera edición) en Internet Archive
- Grandes cardenales
- Libros de matematicas
- 1994 libros de no ficción
- 2003 libros de no ficción
