En la teoría de conjuntos , la teoría del modelo interno es el estudio de ciertos modelos de ZFC o algún fragmento o fortalecimiento de los mismos. Normalmente estos modelos son transitivos subconjuntos o subclases del universo von Neumann V , o a veces de una extensión genérica de V . La teoría del modelo interno estudia las relaciones de estos modelos con la determinación , los grandes cardinales y la teoría descriptiva de conjuntos . A pesar del nombre, se considera más una rama de la teoría de conjuntos que de la teoría de modelos .
Ejemplos de
- La clase de todos los conjuntos es un modelo interno que contiene todos los demás modelos internos.
- El primer ejemplo no trivial de un modelo interno fue el universo construible L desarrollado por Kurt Gödel . Cada modelo M de ZF tiene un modelo interno L M satisfacer el axioma de constructibilidad , y esto será el modelo interno más pequeño de M que contiene todos los ordinales de M . Independientemente de las propiedades del modelo original, L M satisfará la hipótesis del continuo generalizado y los axiomas combinatorios como el principio del diamante ◊.
- HOD, la clase de conjuntos que son definibles ordinalmente hereditariamente , forman un modelo interno, que satisface ZFC.
- Los conjuntos que se pueden definir hereditariamente sobre una secuencia numerable de ordinales forman un modelo interno, utilizado en el teorema de Solovay .
- L (R) , el modelo interno más pequeño que contiene todos los números reales y todos los ordinales.
- L [U], la clase construida en relación con una normal, no principal, -Ul ultrafiltro completo sobre un ordinal (ver cero daga ).
Resultados de consistencia
Un uso importante de los modelos internos es la prueba de resultados de coherencia. Si se puede demostrar que todo modelo de un axioma A tiene un modelo interno que satisface el axioma B , entonces si A es consistente , B también debe ser consistente. Este análisis es más útil cuando A es un axioma independiente de ZFC, por ejemplo, un axioma cardinal grande ; es una de las herramientas que se utilizan para clasificar los axiomas según la fuerza de la consistencia .
Referencias
- Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
- Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00384-7