En física teórica , el álgebra superconformal es un álgebra de Lie graduada o superalgebra que combina el álgebra conforme y la supersimetría . En dos dimensiones, el álgebra superconformal es de dimensión infinita. En dimensiones superiores, las álgebras superconformales son de dimensión finita y generan el grupo superconformal (en dos dimensiones euclidianas, la superalgebra de Lie no genera ningún supergrupo de Lie ).
El grupo conformal del -espacio dimensional es y su álgebra de mentira es . El álgebra superconformal es una superalgebra de Lie que contiene el factor bosónico y cuyos generadores impares se transforman en representaciones de espinor de . Dada la clasificación de Kač de superalgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de y . Una lista (posiblemente incompleta) es
- en 3 + 0D gracias a ;
- en 2 + 1D gracias a ;
- en 4 + 0D gracias a ;
- en 3 + 1D gracias a ;
- en 2 + 2D gracias a ;
- formas reales de en cinco dimensiones
- en 5 + 1D, gracias al hecho de que el espinor y las representaciones fundamentales de se mapean entre sí por automorfismos externos.
Según [1] [2] el álgebra superconformal con Las supersimetrías en 3 + 1 dimensiones están dadas por los generadores bosónicos. , , , , la simetría U (1) R , la simetría SU (N) R y los generadores fermiónicos , , y . Aquí, denotar índices de espacio-tiempo; índices de spinor de Weyl para zurdos; índices de espinor de Weyl para diestros; y los índices de simetría R internos.
Los superbrackets de Lie del álgebra conformal bosónica están dados por
donde η es la métrica de Minkowski ; mientras que los de los generadores fermiónicos son:
Los generadores conformes bosónicos no llevan cargas R, ya que se conmutan con los generadores de simetría R:
Pero los generadores fermiónicos llevan carga R:
Bajo transformaciones de conformación bosónica, los generadores fermiónicos se transforman como:
Hay dos álgebras posibles con supersimetría mínima en dos dimensiones; un álgebra de Neveu-Schwarz y un álgebra de Ramond. Es posible una supersimetría adicional, por ejemplo, el álgebra superconformal N = 2 .