En física matemática , la simetría conforme del espacio-tiempo se expresa mediante una extensión del grupo de Poincaré . La extensión incluye transformaciones y dilataciones conformales especiales . En tres dimensiones espaciales más una temporal, la simetría conforme tiene 15 grados de libertad : diez para el grupo de Poincaré, cuatro para transformaciones conformes especiales y uno para una dilatación.
Harry Bateman y Ebenezer Cunningham fueron los primeros en estudiar la simetría conforme de las ecuaciones de Maxwell . Llamaron a una expresión genérica de simetría conforme una transformación de onda esférica . La relatividad general en dos dimensiones del espacio-tiempo también disfruta de una simetría conforme. [1]
Generadores
El grupo conformal tiene la siguiente representación : [2]
dónde son los generadores de Lorentz ,genera traducciones , genera transformaciones de escala (también conocidas como dilataciones o dilataciones) y genera las transformaciones conformes especiales .
Relaciones de conmutación
Las relaciones de conmutación son las siguientes: [2]
otros conmutadores desaparecen. Aquíes el tensor métrico de Minkowski .
Adicionalmente, es un escalar y es un vector covariante bajo las transformaciones de Lorentz .
Las transformaciones conformes especiales vienen dadas por [3]
dónde es un parámetro que describe la transformación. Esta transformación conforme especial también se puede escribir como, dónde
lo que muestra que consiste en una inversión, seguida de una traslación, seguida de una segunda inversión.
En el espacio -tiempo bidimensional , las transformaciones del grupo conforme son las transformaciones conforme . Hay infinitos de ellos.
En más de dos dimensiones, las transformaciones conformes euclidianas asignan círculos a círculos y las hiperesferas a hiperesferas con una línea recta considerada un círculo degenerado y un hiperplano un hipercírculo degenerado.
En más de dos dimensiones de Lorentz , las transformaciones conformes mapean rayos nulos a rayos nulos y conos de luz a conos de luz, siendo un hiperplano nulo un cono de luz degenerado .
Aplicaciones
Teoría de campos conformales
En las teorías de campos cuánticos relativistas, la posibilidad de simetrías está estrictamente restringida por el teorema de Coleman-Mandula bajo supuestos físicamente razonables. El grupo de simetría global más grande posible de una teoría de campo de interacción no supersimétrica es un producto directo del grupo conforme con un grupo interno . [4] Estas teorías se conocen como teorías de campo conforme .
Transiciones de fase de segundo orden
Una aplicación particular es la de fenómenos críticos en sistemas con interacciones locales . Las fluctuaciones [ aclaración necesaria ] en tales sistemas son conformemente invariantes en el punto crítico. Eso permite la clasificación de clases de universalidad de transiciones de fase en términos de teorías de campo conformes.
La invariancia conforme también está presente en la turbulencia bidimensional en un número de Reynolds alto .
Física de altas energías
Muchas teorías estudiadas en física de altas energías admiten la simetría conforme [ ¿por qué? ] . Un famoso [ ¿por qué? ] ejemplo es la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 . Además, la hoja del mundo en la teoría de cuerdas se describe mediante una teoría de campo conforme bidimensional acoplada a la gravedad bidimensional.
Ver también
- Mapa conforme
- Grupo conformal
- Teorema de Coleman-Mandula
- Grupo de renormalización
- Invarianza de escala
- Álgebra superconformal
- Ecuación de muerte conformada
Referencias
- ^ "Gravedad - ¿Qué hace que la Relatividad General sea una variante conforme?" . Intercambio de pila de física . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
- ^ a b Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Teoría de campos conformados . Textos de posgrado en física contemporánea. Saltador. pag. 98. ISBN 978-0-387-94785-3.
- ^ Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Teoría de campos conformados . Textos de posgrado en física contemporánea. Saltador. pag. 97. ISBN 978-0-387-94785-3.
- ^ Juan Maldacena; Alexander Zhiboedov (2013). "Restringir las teorías de campo conforme con una simetría de espín más alta" . Revista de Física A: Matemática y Teórica . 46 (21): 214011. arXiv : 1112.1016 . Código Bibliográfico : 2013JPhA ... 46u4011M . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 46/21/214011 .