En física teórica , un álgebra de supersimetría (o álgebra SUSY ) es un formalismo matemático para describir la relación entre bosones y fermiones . El álgebra de supersimetría contiene no solo el álgebra de Poincaré y una subálgebra compacta de simetrías internas, sino que también contiene algunas sobrecargas fermiónicas, que se transforman como una suma de N representaciones de espinores reales del grupo de Poincaré . Tales simetrías están permitidas por el teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius . Cuando N > 1 se dice que el álgebra tiene supersimetría extendida. El álgebra de supersimetría es una suma semidirecta de una extensión central del álgebra super-Poincaré por un álgebra de Lie compacta B de simetrías internas.
Los campos bosónicos conmutan mientras que los campos fermiónicos anticonmutan. Para tener una transformación que relacione los dos tipos de campos, se requiere la introducción de una clasificación Z 2 bajo la cual los elementos pares son bosónicos y los impares son fermiónicos. Tal álgebra se llama superalgebra de Lie .
Así como se pueden tener representaciones de un álgebra de Lie , también se pueden tener representaciones de una superalgebra de Lie , llamadas supermultipletos . Para cada álgebra de Lie, existe un grupo de Lie asociado que está conectado y simplemente conectado , único hasta el isomorfismo , y las representaciones del álgebra se pueden ampliar para crear representaciones de grupo . De la misma manera, las representaciones de un superalgebra de Lie a veces pueden extenderse a representaciones de un supergrupo de Lie .
Estructura de un álgebra de supersimetría
El álgebra general de supersimetría para la dimensión del espacio-tiempo d , y con la pieza fermiónica que consiste en una suma de N representaciones de espino real irreductibles, tiene una estructura de la forma
- ( P × Z ). Q. ( L × B )
dónde
- P es una subálgebra normal de vector abeliano bosónico de dimensión d , normalmente identificada con traducciones de espacio-tiempo. Es una representación vectorial de L .
- Z es un álgebra bosónica escalar en el centro cuyos elementos se denominan cargas centrales.
- Q es un álgebra fermiónica espinorial subcociente abeliano, y es una suma de N representaciones reales de espinoriales L . (Cuando la firma del espacio-tiempo es divisible por 4, hay dos representaciones de espinor diferentes de L , por lo que existe cierta ambigüedad sobre la estructura de Q como una representación de L. ) Los elementos de Q , o más bien sus imágenes inversas en el álgebra de supersimetría , se denominan sobrealimentaciones. La subálgebra ( P × Z ). Q es a veces también llamado el álgebra supersimetría y es nilpotent de longitud como máximo 2, con el soporte de la mentira de dos sobrealimenta que yacen en P × Z .
- L es una subálgebra bosónica, isomorfa al álgebra de Lorentz en dimensiones d , de dimensión d ( d –1) / 2
- B es una subálgebra bosónica escalar, dada por el álgebra de Lie de algún grupo compacto, llamado grupo de simetrías internas. Se conmuta con P , Z , y L , pero puede actuar no trivial en la sobrealimenta Q .
Los términos "bosónico" y "fermiónico" se refieren a subespacios pares e impares del superalgebra.
Los términos "escalar", "espinor", "vector", se refieren al comportamiento de las subálgebras bajo la acción del álgebra L de Lorentz .
El número N es el número de representaciones de espín reales irreductibles. Cuando la firma del espacio-tiempo es divisible por 4, esto es ambiguo, ya que en este caso hay dos representaciones de espino real irreductibles diferentes, y el número N a veces se reemplaza por un par de números enteros ( N 1 , N 2 ).
El álgebra de supersimetría se considera a veces como un superálgebra real y, a veces, como un álgebra compleja con una conjugación hermitiana. Estas dos vistas son esencialmente equivalentes, ya que el álgebra real se puede construir a partir del álgebra compleja tomando los elementos sesgados-hermitianos, y el álgebra compleja se puede construir a partir del real tomando el producto tensorial con los números complejos.
La parte bosónica de la superalgebra es isomorfa al producto del álgebra P de Poincaré . L con el álgebra Z × B de simetrías internas.
Cuando N > 1, se dice que el álgebra tiene supersimetría extendida .
Cuando Z es trivial, la subálgebra P . Q . L es el álgebra superpoincaré .
Ver también
Referencias
- Bagger, Jonathan; Wess, Julius (1992), supersimetría y supergravedad , Princeton Series in Physics (2a ed.), Princeton University Press , ISBN 0-691-02530-4, MR 1152804
- Haag, Rudolf ; Sohnius, Martin; Łopuszański, Jan T. (1975), "Todos los posibles generadores de supersimetrías de la matriz S", Nuclear Physics B , 88 : 257-274, Bibcode : 1975NuPhB..88..257H , doi : 10.1016 / 0550-3213 ( 75) 90279-5 , MR 0411396