En matemáticas , un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie dotada de una gradación que es compatible con el corchete de Lie . En otras palabras, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie que también es un álgebra graduada no asociativa bajo la operación de corchetes. La elección de la descomposición de Cartan otorga a cualquier álgebra de Lie semisimple la estructura de un álgebra de Lie graduada. Cualquier álgebra de Lie parabólica es también un álgebra de Lie graduada.
Una superalgebra de Lie graduada [1] amplía la noción de álgebra de Lie graduada de tal manera que ya no se asume que el corchete de Lie es necesariamente anticomutativo . Estos surgen en el estudio de las derivaciones en álgebras graduadas , en la teoría de la deformación de Murray Gerstenhaber , Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , y en la teoría de las derivadas de Lie .
Una superalgebra de Lie supergradada [2] es una generalización adicional de esta noción a la categoría de superalgebras en la que una superalgebra de Lie graduada está dotada de una superálgebra de Lie supergradada.-gradación. Estos surgen cuando uno forma una superalgebra de Lie graduada en un entorno clásico (no supersimétrico), y luego se tensoriza para obtener el análogo supersimétrico . [3]
Son posibles generalizaciones aún mayores para las álgebras de Lie sobre una clase de categorías monoidales trenzadas equipadas con un coproducto y alguna noción de una gradación compatible con el trenzado en la categoría. Para obtener sugerencias en esta dirección, consulte Lie superalgebra # Definición de teoría de categorías .
Álgebras de mentira graduadas
En su forma más básica, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie ordinaria , junto con una gradación de espacios vectoriales
de manera que el corchete de Lie respete esta gradación:
El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada hereda la calificación.
Ejemplos de
Por ejemplo, el álgebra de Lie de matrices 2 × 2 sin trazas es calificado por los generadores:
Estos satisfacen las relaciones , , y . Por lo tanto con, , y , la descomposición presenta como un álgebra de Lie graduada.
Álgebra de mentiras libres
El álgebra de Lie libre en un conjunto X naturalmente tiene una calificación, dada por el número mínimo de términos necesarios para generar el elemento de grupo. Esto surge, por ejemplo, como el álgebra de Lie graduada asociada a la serie central inferior de un grupo libre .
Generalizaciones
Si es cualquier monoide conmutativo , entonces la noción de unEl álgebra de Lie graduada generaliza la de un ordinario (-) álgebra de Lie graduada para que las relaciones definitorias se mantengan con los enteros reemplazado por . En particular, cualquier álgebra de Lie semisimple se clasifica por los espacios de raíz de su representación adjunta .
Superalgebras graduadas de Lie
Una superalgebra de Lie graduada sobre un campo k (no de la característica 2) consiste en un espacio vectorial graduado E sobre k , junto con una operación de corchetes bilineales
de manera que se satisfagan los siguientes axiomas.
- [-, -] respeta la gradación de E :
- .
- ( Simetría ) Si x ∈ E i y y ∈ E j , entonces
- ( Identidad de Jacobi ) Si x ∈ E i , y ∈ E j , y z ∈ E k , entonces
- .
- (Si k tiene la característica 3, entonces la identidad de Jacobi debe complementarse con la condición para todo x en E impar .)
Tenga en cuenta, por ejemplo, que cuando E lleva la gradación trivial, una superalgebra de Lie graduada sobre k es simplemente un álgebra de Lie ordinaria. Cuando la gradación de E se concentra en grados pares, se recupera la definición de un álgebra de Lie graduada ( Z -).
Ejemplos y aplicaciones
El ejemplo más básico de una superalgebra de Lie graduada ocurre en el estudio de derivaciones de álgebras graduadas. Si A es un k -álgebra graduada con gradación
- ,
entonces una derivación k graduada d en A de grado l se define por
- por ,
- , y
- por .
El espacio de todas las derivaciones graduadas de grado l se denota por, y la suma directa de estos espacios,
- ,
lleva la estructura de un módulo A. Esto generaliza la noción de una derivación de álgebras conmutativas a la categoría graduada.
En Der ( A ), se puede definir un paréntesis a través de:
- [ d , δ ] = dδ - (−1) ij δd , para d ∈ Der i ( A ) y δ ∈ Der j ( A ).
Equipado con esta estructura, Der ( A ) hereda la estructura de una superalgebra de Lie graduada sobre k .
Más ejemplos:
- El corchete de Frölicher-Nijenhuis es un ejemplo de un álgebra de Lie graduada que surge naturalmente en el estudio de conexiones en geometría diferencial .
- El corchete de Nijenhuis-Richardson surge en relación con las deformaciones de las álgebras de Lie.
Generalizaciones
La noción de superalgebra de Lie graduada se puede generalizar de modo que su clasificación no sea solo de números enteros. Específicamente, un semiring con signo consta de un par, dónde es un semiring yes un homomorfismo de grupos aditivos. Luego, una supalgebra de Lie graduada sobre un semirraillado con signo consiste en un espacio vectorial E graduado con respecto a la estructura aditiva en, y un paréntesis bilineal [-, -] que respeta la calificación en E y además satisface:
- para todos los elementos homogéneos x y y , y
Más ejemplos:
- Una superalgebra de Lie es una superalgebra de Lie graduada sobre el semirrígido firmado, dónde es el endomorfismo de identidad para la estructura aditiva en el anillo .
Notas
- ^ El prefijo "super" para esto no es del todo estándar, y algunos autores pueden optar por omitirlo por completo a favor de llamar a una superalgebra de Lie graduada simplemente un álgebra de Lie graduada . Esta evasión no está del todo sin justificación, ya que las superalgebras de Lie graduadas pueden no tener nada que ver con las álgebras de la supersimetría . Solo son super en la medida en que llevan ungradación. Esta gradación se produce de forma natural y no debido a ningún superespacio subyacente. Por tanto, en el sentido de la teoría de categorías , se les considera propiamente como no superobjetos ordinarios.
- ^ En relación con la supersimetría , a menudo se les llama superalgebras de Lie graduadas , pero esto entra en conflicto con la definición anterior de este artículo.
- ^ Así superalgebras de Lie supergraded llevan un par de-gradaciones: una de las cuales es supersimétrica y la otra es clásica. Pierre Deligne llama al supersimétrico la supergradación y al clásico la gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles y, a menudo, hay desacuerdos sobre cómo deben considerarse. Vea la discusión de Deligne sobre esta dificultad.
Referencias
- Nijenhuis, Albert ; Richardson Jr., Roger W. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas" . Boletín de la American Mathematical Society . 72 (1): 1–29. doi : 10.1090 / s0002-9904-1966-11401-5 . Señor 0195995 .
Ver también
- Álgebra de mentira graduada diferencial
- Calificado (matemáticas)
- Forma valorada por álgebra de mentira