En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en un-variedad simpléctica dimensional para la que se cumplen las siguientes condiciones:
(i) existen integrales independientes de movimiento. Sus superficies niveladas (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrosa sobre un subconjunto abierto conectado .
(ii) Existen funciones reales fluidas en tal que el corchete de Poisson de integrales de movimiento se lee.
(iii) La función matricial es de corank constante en .
Si , este es el caso de un sistema hamiltoniano completamente integrable . El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold sobre las coordenadas del ángulo de acción del sistema hamiltoniano completamente integrable de la siguiente manera.
Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable estén conectadas de forma compacta y mutuamente difeomórficas. Entonces el colector de fibrases un haz de fibras en tori. Existe un barrio abierto de que es un haz de fibras trivial provisto con las coordenadas del haz (ángulo de acción generalizado) , , tal que son coordenadas en . Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica. Un hamiltoniano de un sistema superintegrable depende solo de las variables de acciónque son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en.
El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas. Son difeomorfos a un cilindro toroidal..
Ver también
Referencias
- Mishchenko, A., Fomenko, A., Método generalizado de Liouville de integración de sistemas hamiltonianos, Funct. Anal. Apl. 12 (1978) 113. doi : 10.1007 / BF01076254
- Bolsinov, A., Jovanovic, B., Integrabilidad no conmutativa, mapa de momentos y flujos geodésicos, Ann. Anal global. Geom. 23 (2003) 305; arXiv : matemáticas-ph / 0109031 .
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- Fiorani, E., Sardanashntly, G. , Coordenadas de ángulos de acción globales para sistemas completamente integrables con variedades invariantes no compactas, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv : matemáticas / 0610790 .
- Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Superintegrabilidad clásica y cuántica con aplicaciones, J. Phys. A 46 (2013), núm. 42, 423001, doi : 10.1088 / 1751-8113 / 46/42/423001 arXiv : 1309.2694
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