El teorema de Darboux es un teorema en el campo matemático de la geometría diferencial y más específicamente de las formas diferenciales , generalizando parcialmente el teorema de integración de Frobenius . Es un resultado fundamental en varios campos, siendo el principal de ellos la geometría simpléctica . El teorema lleva el nombre de Jean Gaston Darboux [1], quien lo estableció como la solución del problema de Pfaff . [2]
Una de las muchas consecuencias del teorema es que dos variedades simplécticas cualesquiera de la misma dimensión son localmente simpléctomórficas entre sí. Es decir, cada 2 n variedad simpléctica -dimensional puede ser hecho para parecer localmente como el espacio simpléctico lineal C n con su forma simpléctica canónica. También hay una consecuencia análoga del teorema aplicado a la geometría de contacto .
Declaración y primeras consecuencias
La declaración precisa es la siguiente. [3] Supongamos quees una forma 1 diferencial en una variedad de n dimensiones, tal quetiene rango constante p . Si
- En todas partes,
entonces hay un sistema local de coordenadas en el cual
- .
Si, por otro lado,
- En todas partes,
entonces hay un sistema local de coordenadas ' en el cual
- .
Tenga en cuenta que si en todas partes y luego es un formulario de contacto .
En particular, suponga que es una forma simpléctica de 2 en una variedad dimensional M de n = 2 m . En una vecindad de cada punto p de M , por el lema de Poincaré , hay una forma 1 con . Es más,satisface el primer conjunto de hipótesis en el teorema de Darboux, por lo que localmente hay un gráfico de coordenadas U cerca de p en el que
- .
Tomar una derivada exterior ahora muestra
Se dice que el gráfico U es un gráfico de Darboux alrededor de p . [4] El colector M puede estar cubierto por tales gráficos.
Para decir esto de otra manera, identifique con Dejando . Sies un gráfico de Darboux, entonces es el retroceso de la forma simpléctica estándar en :
Comparación con la geometría de Riemann
Este resultado implica que no hay invariantes locales en la geometría simpléctica: siempre se puede tomar una base de Darboux , válida cerca de cualquier punto dado. Esto está en marcado contraste con la situación en la geometría de Riemann, donde la curvatura es una invariante local, una obstrucción a la métrica es localmente una suma de cuadrados de diferenciales de coordenadas.
La diferencia es que el teorema de Darboux establece que se puede hacer que ω adopte la forma estándar en todo un vecindario alrededor de p . En la geometría de Riemann, siempre se puede hacer que la métrica adopte la forma estándar en cualquier punto dado, pero no siempre en una vecindad alrededor de ese punto.
Ver también
- Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie , una generalización de este teorema.
- Base simpléctica
Notas
Referencias
- Darboux, Gaston (1882). "Sur le problème de Pfaff" . Toro. Sci. Matemáticas . 6 : 14–36, 49–68.
- Pfaff, Johann Friedrich (1814-1815). "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, integrandi completa". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften en Berlín : 76–136.
- Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Prentice Hall.
- McDuff, D .; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.