Transición de fase superradiante

En óptica cuántica , una transición de fase superradiante es una transición de fase que ocurre en una colección de emisores fluorescentes (como átomos), entre un estado que contiene pocas excitaciones electromagnéticas (como en el vacío electromagnético ) y un estado superradiante con muchas excitaciones electromagnéticas atrapadas en su interior. los emisores. El estado superradiante se hace termodinámicamente favorable al tener interacciones fuertes y coherentes entre los emisores.

La transición de fase superradiante fue predicha originalmente por el modelo de superradiancia de Dicke , que asume que los átomos tienen solo dos niveles energéticos y que estos interactúan con un solo modo del campo electromagnético. ^{[1] [2]} La transición de fase ocurre cuando la fuerza de la interacción entre los átomos y el campo es mayor que la energía de la parte del sistema que no interactúa. (Esto es similar al caso de la superconductividad en ferromagnetismo , que conduce a la interacción dinámica entre átomos ferromagnéticos y el ordenamiento espontánea de excitaciones por debajo de la temperatura crítica.) El colectivo desplazamiento de Lamb, relacionado con el sistema de átomos que interactúan con las fluctuaciones del vacío , se vuelve comparable a las energías de los átomos solos, y las fluctuaciones del vacío provocan la autoexcitación espontánea de la materia.

La transición puede entenderse fácilmente mediante el uso de la transformación de Holstein-Primakoff ^[3] aplicada a un átomo de dos niveles . Como resultado de esta transformación, los átomos se convierten en osciladores armónicos de Lorentz con frecuencias iguales a la diferencia entre los niveles de energía. Todo el sistema luego se simplifica a un sistema de osciladores armónicos de átomos que interactúan , y el campo conocido como dieléctrico de Hopfield, que además predice en el estado normal los polarones para fotones o polaritones . Si la interacción con el campo es tan fuerte que el sistema colapsa en la aproximación armónica yAparecen frecuencias de polariton complejas (modos suaves), entonces el sistema físico con términos no lineales de orden superior se convierte en el sistema con el potencial en forma de sombrero mexicano , y experimentará una transición de fase de tipo ferroeléctrico . ^[4] En este modelo, el sistema es matemáticamente equivalente para un modo de excitación al paquete de ondas de Troya , cuando la intensidad del campo polarizado circularmente corresponde a la constante de acoplamiento electromagnético. Por encima del valor crítico, cambia al movimiento inestable de la ionización .

La transición de fase superradiante fue objeto de una amplia discusión sobre si es o no sólo el resultado del modelo simplificado de la interacción materia-campo; y si puede ocurrir para los parámetros físicos reales de los sistemas físicos (un teorema de no ir ). ^{[5] [6]} Sin embargo, tanto la derivación original como las correcciones posteriores que condujeron a la inexistencia de la transición, debido a que la regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn canceló para el oscilador armónico la desigualdad necesaria para la negatividad imposible de la interacción, se basaron en la suposición de que los operadores de campo cuántico están conmutando números y que los átomos no interactúan con las fuerzas estáticas de Coulomb. Esto generalmente no es cierto como en el caso del teorema de Bohr-van Leeuwen.y la clásica inexistencia del diamagnetismo de Landau . El retorno de la transición se produce básicamente porque las interacciones dipolo-dipolo entre átomos nunca son despreciables en el régimen de densidad de materia superradiante y la transformación unitaria de Power-Zienau, que elimina el potencial del vector cuántico en el hamiltoniano de acoplamiento mínimo, transforma al hamiltoniano exactamente a la forma. utilizado cuando se descubrió y sin el cuadrado del potencial vectorial que más tarde se afirmó para prevenirlo. Alternativamente, dentro de la mecánica cuántica completa, incluido el campo electromagnético, el teorema generalizado de Bohr-van Leeuwen no funciona y las interacciones electromagnéticas no pueden eliminarse por completo mientras solo cambian el acoplamiento de potencial vectorial al campo eléctrico${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {E} }$acoplarse y alterar las interacciones electrostáticas efectivas. Se puede observar en sistemas modelo como condensados ​​de Bose-Einstein ^[7] y átomos artificiales. ^{[8] [9]}

Teoría

Criticidad del modelo lineal de Jaynes-Cummings

Una transición de fase superradiante se predice formalmente mediante el comportamiento crítico del modelo resonante de Jaynes-Cummings , que describe la interacción de un solo átomo con un modo del campo electromagnético. Partiendo del hamiltoniano exacto del modelo de Jaynes-Cummings en resonancia

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}\right),}$

Aplicar la transformación de Holstein-Primakoff para dos niveles de giro, reemplazando los operadores de subida y bajada de giro por los de los osciladores armónicos

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}\approx {\hat {b}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}\approx {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}\approx 2{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$

se obtiene el hamiltoniano de dos osciladores armónicos acoplados:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {b}}^{\dagger }+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}+{\hat {a}}{\hat {b}}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }\right),}$

que se puede diagonalizar fácilmente. Postulando su forma normal

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\Omega _{+}{\hat {A_{+}}}^{\dagger }{\hat {A_{+}}}+\Omega _{-}{\hat {A_{-}}}^{\dagger }{\hat {A_{-}}}+C}$

donde

${\displaystyle {\hat {A_{\pm }}}=c_{\pm 1}{\hat {a}}+c_{\pm 2}{\hat {a}}^{\dagger }+c_{\pm 3}{\hat {b}}+c_{\pm 4}{\hat {b}}^{\dagger }}$

se obtiene la ecuación de valor propio

${\displaystyle [{\hat {A_{\pm }}},{\hat {H}}_{\text{JC}}]=\Omega _{\pm }A}$

con las soluciones

${\displaystyle \Omega _{\pm }=\omega {\sqrt {1\pm {\frac {\Omega }{\omega }}}}}$

El sistema colapsa cuando una de las frecuencias se vuelve imaginaria, es decir, cuando

${\displaystyle \Omega >\omega }$

o cuando el acoplamiento átomo-campo es más fuerte que la frecuencia de los osciladores de modo y átomo. Si bien existen términos físicamente más altos en el sistema real, el sistema en este régimen, por lo tanto, se someterá a la transición de fase.

Criticidad del modelo de Jaynes-Cummings

El hamiltoniano simplificado del modelo de Jaynes-Cummings, descuidando los términos contrarrotantes, es

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right),}$

y las energías para el caso de desafinación cero son

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega (n),}$

${\displaystyle \Omega (n)=\Omega {\sqrt {n+1}}}$

donde está la frecuencia Rabi . Se puede calcular aproximadamente la función de partición canónica${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle Z=\sum _{\pm ,n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}\approx \sum _{\pm }\int \mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}dn=\int \mathrm {e} ^{\Phi (n)}dn}$,

donde la suma discreta fue reemplazada por la integral.

El enfoque normal es que la última integral se calcula mediante la aproximación gaussiana alrededor del máximo del exponente:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi (n)}{\partial n}}=0}$

${\displaystyle \Phi (n)=-\beta \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\log 2\cosh {\frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}}$

Esto conduce a la ecuación crítica

${\displaystyle \tanh {\frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}=4{\frac {\omega }{\Omega }}{\sqrt {n+1}}}$

Esto tiene la solución solo si

${\displaystyle \Omega >4\omega }$

lo que significa que la fase normal y la superradiante existen solo si el acoplamiento campo-átomo es significativamente más fuerte que la diferencia de energía entre los niveles del átomo. Cuando se cumple la condición, la ecuación da la solución para el parámetro de orden en función de la inversa de la temperatura , lo que significa un modo de campo ordenado que no desaparece. Se pueden hacer consideraciones similares en el verdadero límite termodinámico del número infinito de átomos.${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/\beta }$

Inestabilidad del modelo electrostático clásico.

La mejor comprensión de la naturaleza de la transición de fase superradiante, así como del valor físico del parámetro crítico que debe excederse para que ocurra la transición, puede obtenerse estudiando la estabilidad clásica del sistema de los osciladores armónicos clásicos cargados en el espacio 3D interactúa solo con las fuerzas repulsivas electrostáticas, por ejemplo, entre electrones en el potencial del oscilador armónico local. A pesar del modelo original de superradiancia, el campo electromagnético cuántico está totalmente descuidado aquí. Se puede suponer que los osciladores están colocados, por ejemplo, en la celosía cúbica con la constante de celosía${\displaystyle a}$en analogía con el sistema cristalino de la materia condensada. Se asume el peor escenario del defecto de la ausencia de los dos electrones estabilizadores de movimiento fuera del plano del sexto vecino más cercano de un electrón elegido, mientras que se supone que los cuatro electrones más cercanos son rígidos en el espacio y produciendo el potencial anti-armónico en la dirección perpendicular al plano de los cinco electrones. La condición de la inestabilidad del movimiento del electrón elegido es que el potencial neto que es la superposición del potencial del oscilador armónico y el potencial de Coulomb expandido cuadráticamente de los cuatro electrones es negativo, es decir.

${\displaystyle {\frac {m\omega ^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\times 4\times {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{a^{3}}}<0}$

o

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{\pi \epsilon _{0}m\omega ^{2}}}{\frac {1}{a^{3}}}>1}$

Haciéndolo artificialmente cuántico multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el uno obtiene la condición ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}{\frac {|D_{12}|^{2}}{E_{12}\epsilon _{0}}}\left({\frac {N}{V}}\right)>1}$

donde

${\displaystyle |D_{12}|^{2}={\frac {e^{2}\hbar }{2m\omega }}}$

es el cuadrado de la fuerza de transición del dipolo entre el estado fundamental y el primer estado excitado del oscilador armónico cuántico ,

${\displaystyle E_{12}=\hbar \omega }$

es la brecha de energía entre niveles consecutivos y también se observa que

${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}}}={\frac {N}{V}}}$

es la densidad espacial de los osciladores. La condición es casi idéntica a la obtenida en el descubrimiento original de la transición de fase superradiante al reemplazar los osciladores armónicos con dos átomos de nivel con la misma distancia entre los niveles de energía, la fuerza de transición del dipolo y la densidad, lo que significa que ocurre en el régimen. cuando las interacciones de Coulomb entre electrones dominan sobre la influencia oscilatoria localmente armónica de los átomos. Es este sentido, el libre gas de electrones con también es puramente superradiant. ${\displaystyle \omega =0}$

La desigualdad crítica reescrita pero de manera diferente

${\displaystyle \omega <{\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\pi \epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}\approx {\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}}$

expresa el hecho de que la transición de fase superradiante ocurre cuando la frecuencia de los osciladores atómicos de unión es menor que la llamada frecuencia de plasma de gas de electrones .

Referencias

1. Hepp, Klaus; Lieb, Elliott H. (1973). "Sobre la transición de fase superradiante para moléculas en un campo de radiación cuantificado: modelo de Dicke Maser". Annals of Physics . 76 : 360–404. Código bibliográfico : 1973AnPhy..76..360H . doi : 10.1016 / 0003-4916 (73) 90039-0 .
2. Wang, YK; Hioe, F. T (1973). "Transición de fase en el modelo de superradiancia de Dicke". Physical Review A . 7 : 831–836. Código Bibliográfico : 1973PhRvA ... 7..831W . doi : 10.1103 / PhysRevA.7.831 .
3. Baksic, Alexandre; Nataf, Pierre; Ciuti, Cristiano (2013). "Transiciones de fase superradiante con sistemas de tres niveles". Physical Review A . 87 : 023813–023813–5. arXiv : 1206.3213 . Código Bibliográfico : 2013PhRvA..87b3813B . doi : 10.1103 / PhysRevA.87.023813 .
4. Emaljanov, VI; Klimontovicz, Yu. L. (1976). "Aparición de polarización colectiva como resultado de la transición de fase en un conjunto de átomos de dos niveles que interactúan a través de un campo electromagnético". Physics Letters A . 59 (5): 366–368. Código Bibliográfico : 1976PhLA ... 59..366E . doi : 10.1016 / 0375-9601 (76) 90411-4 .
5. Rzążewski, K .; Wódkiewicz, K. T (1975). "Transiciones de fase, átomos de dos niveles y el término". Cartas de revisión física . 35 (7): 432–434. Código Bibliográfico : 1975PhRvL..35..432R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.35.432 .${\displaystyle A^{2}}$
6. Bialynicki-Birula, Iwo; Rzążewski, Kazimierz (1979). "Teorema de no ir sobre la transición de fase superradiante en sistemas atómicos". Physical Review A . 19 (1): 301-303. Código Bibliográfico : 1979PhRvA..19..301B . doi : 10.1103 / PhysRevA.19.301 .
7. Baumann, Kristian; Guerlin, Christine; Brennecke, Ferdinand; Esslinger, Tilman (2010). "Transición de fase cuántica de Dicke con un gas superfluido en una cavidad óptica". Naturaleza . 464 : 1301–1306. arXiv : 0912.3261 . doi : 10.1038 / nature09009 .
8. Zhang, Yuanwei; Lian, Jinling; Liang, J.-Q .; Chen, Gang; Zhang, Chuanwei; Suotang, Jia (2013). "Transición de fase de Dicke de temperatura finita de un condensado de Bose-Einstein en una cavidad óptica". Physical Review A . 87 : 013616-013616-6. arXiv : 1202.4125 . Código Bibliográfico : 2013PhRvA..87a3616Z . doi : 10.1103 / PhysRevA.87.013616 .
9. Viehmann, Oliver; von Delft, Jan; Marquard, Florian (1975). "Transiciones de fase superradiante y la descripción estándar del circuito QED". Cartas de revisión física . 107 (7): 113602-113602-5. arXiv : 1103.4639 . Código Bibliográfico : 2011PhRvL.107k3602V . doi : 10.1103 / physrevlett.107.113602 .