En matemáticas , la función de soporte h A de un conjunto convexo cerrado no vacío A en describe las distancias (con signo) de los hiperplanos de apoyo de A desde el origen. La función de soporte es una función convexa en. Cualquier conjunto convexo cerrado no vacío A se determina de forma única por h A . Además, la función de soporte, en función del conjunto A , es compatible con muchas operaciones geométricas naturales, como escalado, traslación, rotación y adición de Minkowski . Debido a estas propiedades, la función de soporte es uno de los conceptos básicos más centrales en la geometría convexa.
Definición
La función de apoyo de un conjunto convexo cerrado no vacío A en es dado por
; ver [1] [2] . [3] Su interpretación es más intuitiva cuando x es un vector unitario: por definición, A está contenido en el medio espacio cerrado
y hay al menos un punto de A en el límite
de este medio espacio. Por lo tanto, el hiperplano H ( x ) se denomina hiperplano de apoyo con un vector normal x unitario exterior (o exterior ) . La palabra exterior es importante aquí, ya que la orientación de x juega un papel, el conjunto H ( x ) es en general diferente de H (- x ). Ahora h A es la distancia (con signo) de H ( x ) desde el origen.
Ejemplos de
La función de soporte de un singleton A = { a } es.
La función de apoyo de la bola unitaria euclidiana B 1 es.
Si A es un segmento de línea a través del origen con los puntos finales - una y un entonces.
Propiedades
En función de x
La función de soporte de un conjunto convexo compacto no vacío es de valor real y continua, pero si el conjunto es cerrado e ilimitado, su función de soporte se extiende a valor real (toma el valor). Como cualquier conjunto convexo cerrado no vacío es la intersección de sus medios espacios de soporte, la función h A determina A de forma única. Esto se puede utilizar para describir analíticamente ciertas propiedades geométricas de conjuntos convexos. Por ejemplo, un conjunto A es un punto simétrico con respecto al origen si y solo si h A es una función par .
En general, la función de soporte no es diferenciable. Sin embargo, existen derivadas direccionales y funciones de soporte de rendimiento de conjuntos de soporte. Si A es compacto y convexo, y h A '( u ; x ) denota la derivada direccional de h A en u ≠ 0 en la dirección x , tenemos
Aquí H ( u ) es el hiperplano de apoyo de A con el vector normal exterior u , definido anteriormente. Si A ∩ H ( u ) es un singleton { y }, digamos, se deduce que la función de soporte es diferenciable en u y su gradiente coincide con y . Por el contrario, si h A es diferenciable en u , entonces A ∩ H ( u ) es un singleton. Por tanto, h A es diferenciable en todos los puntos u ≠ 0 si y solo si A es estrictamente convexo (el límite de A no contiene ningún segmento de línea).
De su definición se deduce directamente que la función de soporte es homogénea positiva:
y subaditivo:
De ello se deduce que h A es una función convexa . Es crucial en la geometría convexa que estas propiedades caractericen las funciones de soporte: Cualquier función positiva homogénea, convexa, con valor real enes la función de soporte de un conjunto convexo compacto no vacío. Se conocen varias pruebas, [3] una está utilizando el hecho de que la transformada de Legendre de una función positiva homogénea, convexa y con valor real es la función indicadora (convexa) de un conjunto convexo compacto.
Muchos autores restringen la función de soporte a la esfera unitaria euclidiana y la consideran una función en S n -1 . La propiedad de homogeneidad muestra que esta restricción determina la función de soporte en, como se define arriba.
En función de A
Las funciones de apoyo de un conjunto dilatado o traducido están estrechamente relacionadas con el conjunto A original :
y
Este último generaliza a
donde A + B denota la suma de Minkowski :
La distancia de Hausdorff d H ( A , B ) de dos conjuntos convexos compactos no vacíos A y B se puede expresar en términos de funciones de soporte,
donde, en el lado derecho, se utiliza la norma uniforme en la esfera unitaria.
Las propiedades de la función de soporte en función del conjunto A a veces se resumen diciendo que: A h A asigna la familia de conjuntos convexos compactos no vacíos al cono de todas las funciones continuas de valor real en la esfera cuya extensión homogénea positiva es convexa. Abusar levemente de la terminología,a veces se denomina lineal , ya que respeta la adición de Minkowski, aunque no se define en un espacio lineal, sino en un cono convexo (abstracto) de conjuntos convexos compactos no vacíos. El mapeoes una isometría entre este cono, dotado de la métrica de Hausdorff, y un subcono de la familia de funciones continuas en S n -1 con la norma uniforme.
Variantes
En contraste con lo anterior, las funciones de soporte a veces se definen en el límite de A en lugar de S n -1 , bajo el supuesto de que existe una unidad exterior única normal en cada punto de límite. No se necesita convexidad para la definición. Para una superficie regular orientada , M , con un vector normal unitario , N , definido en todas partes de su superficie, la función de soporte se define entonces por
- .
En otras palabras, para cualquier , esta función de soporte da la distancia firmada del hiperplano único que toca M en x .
Ver también
Referencias
- ^ T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlín, 1934. Traducción al inglés: Teoría de los cuerpos convexos, BCS Associates, Moscú, ID, 1987.
- ^ RJ Gardner, Tomografía geométrica, Cambridge University Press, Nueva York, 1995. Segunda edición: 2006.
- ^ a b R. Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.