En teoría de la matriz , la fórmula de Sylvester o teorema de Sylvester de la matriz (el nombre de JJ Sylvester ) o de interpolación de Lagrange-Sylvester expresa una analítica función f ( A ) de una matriz A como un polinomio en A , en términos de los valores propios y los vectores propios de A . [1] [2] Establece que [3]
donde λ i son los valores propios de A , y las matrices
son los correspondientes covariantes de Frobenius de A , que son (proyección) matriz de polinomios de Lagrange de A .
Condiciones
La fórmula de Sylvester se aplica a cualquier matriz diagonalizable A con k valores propios distintos, λ 1 ,…, λ k , y cualquier función f definida en algún subconjunto de números complejos de manera que f ( A ) esté bien definida. La última condición significa que todo valor propio λ i está en el dominio de f , y que todo valor propio λ i con multiplicidad m i > 1 está en el interior del dominio, siendo f ( m i - 1 ) veces diferenciable en λ i . [1] : Def.6.4
Ejemplo
Considere la matriz de dos por dos:
Esta matriz tiene dos valores propios, 5 y -2. Sus covariantes de Frobenius son
La fórmula de Sylvester asciende a
Por ejemplo, si f está definida por f ( x ) = x −1 , entonces la fórmula de Sylvester expresa la matriz inversa f ( A ) = A −1 como
Generalización
La fórmula de Sylvester solo es válida para matrices diagonalizables ; una extensión debida a A. Buchheim, basada en polinomios de interpolación de Hermite , cubre el caso general: [4]
- ,
dónde .
Schwerdtfeger da además una forma concisa, [5]
- ,
donde A i son las covariantes de Frobenius correspondientes de A
Ver también
Referencias
- ^ a b / Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
- ^ Jon F. Claerbout (1976), Teorema de la matriz de Sylvester , una sección de Fundamentos del procesamiento de datos geofísicos . Versión en línea en sepwww.stanford.edu, consultado el 14-03-2010.
- ^ Sylvester, JJ (1883). "XXXIX. Sobre la ecuación a las desigualdades seculares en la teoría planetaria" . The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science . 16 (100): 267–269. doi : 10.1080 / 14786448308627430 . ISSN 1941-5982 .
- ^ Buchheim, A. (1884). "Sobre la teoría de las matrices" . Actas de la London Mathematical Society . s1-16 (1): 63–82. doi : 10.1112 / plms / s1-16.1.63 . ISSN 0024-6115 .
- ^ Schwerdtfeger, Hans (1938). Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. Yo, Volumen 1 . París, Francia: Hermann.
- FR Gantmacher , The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , págs.101-103
- Higham, Nicholas J. (2008). Funciones de matrices: teoría y computación . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). ISBN 9780898717778. OCLC 693957820 .
- Merzbacher, E (1968). "Métodos matriciales en mecánica cuántica". Soy. J. Phys . 36 (9): 814–821. doi : 10.1119 / 1.1975154 .