En teoría de la matriz , las covariantes de Frobenius de una matriz cuadrada A son polinomios especiales de la misma, a saber proyección matrices A i asociado con el valores propios y los vectores propios de A . [1] : pp.403 , 437–8 Llevan el nombre del matemático Ferdinand Frobenius .
Cada covariante es una proyección en el espacio propio asociado con el valor propio λ i . Covariantes de Frobenius son los coeficientes de la fórmula de Sylvester , que expresa una función de una matriz de f ( A ) como un polinomio de la matriz, a saber, una combinación lineal de los valores de esa función en los valores propios de A .
Definicion formal
Sea A una matriz diagonalizable con valores propios λ 1 ,…, λ k .
La covariante de Frobenius A i , para i = 1,…, k , es la matriz
Es esencialmente el polinomio de Lagrange con argumento de matriz. Si el valor propio λ i es simple, entonces, como una matriz de proyección idempotente a un subespacio unidimensional, A i tiene una traza unitaria .
Calcular las covariantes
Las covariantes de Frobenius de una matriz A se pueden obtener a partir de cualquier descomposición propia A = SDS −1 , donde S no es singular y D es diagonal con D i , i = λ i . Si A no tiene valores propios múltiples, entonces sea c i el i- ésimo vector propio derecho de A , es decir, la i- ésima columna de S ; y sea r i el i- ésimo vector propio izquierdo de A , es decir, la i- ésima fila de S −1 . Entonces A i = c i r i .
Si A tiene un valor propio λ i aparece varias veces, entonces A i = Σ j c j r j , donde la suma está sobre todas las filas y columnas asociadas con el valor propio λ i . [1] : pág . 521
Ejemplo
Considere la matriz de dos por dos:
Esta matriz tiene dos valores propios, 5 y -2; por tanto ( A - 5) ( A + 2) = 0 .
La descomposición propia correspondiente es
Por tanto, las covariantes de Frobenius, manifiestamente proyecciones, son
con
Tenga en cuenta tr A 1 = tr A 2 = 1 , según sea necesario.